Скалярное поле. Градиент поля. Производная функции в точке.

[Dem6ejib2009]

Проверьте пожалуйста.
Даны скалярное поле $u=\ln(x^2+y^2 z^2)$
$M_0$(2;2;1) $M_1$(2;1;3)

Найти
1.градиент поля в точке $M_0$
2 Производную функции в точке $M_0$ по направлению от точки $M_0$ до точки $M_1$

Решение:
1) $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2x}{x^2+y^2 z^2}=\dfrac{4}{4+4\cdot 1}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{du}{dy}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{4}$

2) $\vec{M_0M_1}(0;-1;2)$
$\vec{M_0M_1}=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5}$

$\cos\alpha=0$
$\cos\beta=\dfrac{-1}{\sqrt{5}}$
$\cos\gamma=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$\dfrac{du}{d\vec{l}}=\dfrac{1}{2}\cdot 0+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1}{\sqrt5}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{\sqrt5})=0-\dfrac{1}{2\sqrt5}+\dfrac{1}{2\sqrt5}=0$

AKM:

Малость поправил: следует писать \ln, \cos \sin; буквы типа М в формулах должны быть латинскими, а не с русской клавиатуры.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.

2. Поменяйте название темы на более информативное.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Возвращено. //AKM

[AKM]

Dem6ejib2009 в сообщении #413056 писал(а):

1) $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2x}{x^2+y^2 z^2}=\dfrac{4}{4+4\cdot 1}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{du}{dy}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{4}$

В третьей строке Вы имели в виду производную по $z$, и сосчитали её, по-моему, неправильно. У меня 1 получился. Это же в точке $M_0$?

[Dem6ejib2009]

Да в точке$M_0$

Но как там 1 ведь z=1

Тогда

$\dfrac{dy}{dz}=\dfrac{2*1}{4+4*1}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

[AKM]

Пришёл домой, поужинал, проверил поосновательнее: $\dfrac{\partial}{\partial z}\ln(x^2+y^2z^2)=\dfrac{2y^2z}{x^2+y^2z^2}=\dfrac{2\cdot4\cdot1}{4+4\cdot1}=1$.
Вы ужинали сегодня?

[Dem6ejib2009]

Да ужинал. Спасибо за ошибку. Т.е. dx и dу посчитаны правильно. и 1 задание решено? А насчет второго как в нем обстоят дела?

[Tlalok]

А Вы знаете как определяется производная по направлению?
Я бы даже сказал, а какова ее связь с градиентом?