я как раз написал доказательство того, что в классе непрерывно дифференцируемых функций других решений кроме

нет. Так что Вам чтоб не быть голословным, придется либо найти ошибку у меня, либо написать свое доказательство полностью и подробно.
Ваше доказательство не проходит. В точке 0 не обязано быть ни минимума ни максимума. Стремление возможно колеблясь как у

Попробую расписать подробнее.
Вводим другие переменные

Тогда

Вычисляем производную

Т.е. выполняется соотношение

.
Для еще большего удобства обозначим

, тогда

.
Зададим произвольную бесконечно дифференцируемую функцию

в интервале

, что соответствует заданию

в интервале

и продолжим на всю ось по

или на все

.
Продолжение налево просто

берется

- ая производная в заданном интервале. Возникает проблема сшивки

, которая легко решается например при выборе функции в интервале
![$[0,c]$ $[0,c]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/7/4879ebdb131ac88ac5d5dbb120feec4982.png)
сделав так, чтобы все производные на границе были равны нулю.
Продолжим влево

. Так как задали все производные нулевыми на границе. это легко интегрируется. Можно показать, что в пределе и

стремится к нулю вместе со всеми своими производными.