functional equation

[man111]

The function $\bf f:R\rightarrow R$ is a Differentiable function and satisfy $\bf f(x)=f(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}.f^{'}(x)$.Then find $\bf f(x)=$

[lim0n]

(Оффтоп)

$f(x)=x$

[Руст]

Не только, любая функция (и только они среди дифференцируемых) $f(x)=ax+b$ удовлетворяет уравнению.

[man111]

$\bf f(x)=ax$ Where $\bf a\in R$

[svv]

man111, но $ax+b$ тоже!

[man111]

Yes you are saying Right.

[Oleg Zubelevich]

what's about another solutions in $C^1(\mathbb{R})$ besides the linear ones?

[svv]

А Вам известны такие? Это было бы интересно. Или Вы просто ставите вопрос?

[Oleg Zubelevich]

$f(x)-f(x/2)=\int_{x/2}^xf'(s)ds$
поэтому задача выглядит так $\frac{2}{x}\int_{x/2}^xu(s)ds=u(x),\quad f'(x)= u(x)\in C(\mathbb{R}).$ И надо проверить имеет ли это уравнение другие решения кроме констант.

Слева стоит среднее значение функции $u$ на отрезке $[x/2,x]$. (Для определенности считаем, что $x>0$.)

Пусть $u(y)=\max_{[0,1]}u(x)$ При этом будем считать, что
$ y\in (0,1]$. Если максимум достигается в нуле, то во всех нижеследующих рассуждениях надо рассматривать минимум. Из равенства

$$ \frac{2}{y}\int_{y/2}^yu(s)ds=u(y)\qquad (*)$$

следует, что $u(x)=u(y),\quad x\in[y/2,y]$ поскольку в противном случае среднее значение функции на отрезке было бы меньше ее мксимума.
Теперь рассмотрим уравнение (*) в котором вместо $y$ возьмем $y/2$ это приведет к тому, что $u(x)=u(y)$ при $x\in [y/4,y/2]$ и т.д. Таким образом доказано, что $u(x)=const$ при $x\in[0,y]$.

Теперь предположим что $[0,a],\quad (a\ge y)$ -- максимальный отрезок на котором $u=const$ тогда найдется точка $y_1\in (a,a+1]$ в которой $u$ достигает максимума\минимума на отрезке $[0,a+1]$ и при этом $u(y_1)\ne u(y)$. Повторяем рассуждения, получваем что $u=const$ на отрезке $[0,y_1]$ это дает противоречие значит $a=\infty$.

[Руст]

Вообще то решений бесконечно много. Если $f(x)$ решение, то $f(x)-f(0)$ так же решение. Поэтому можно считать $f(0)=0$.
Обозначим $\frac{x}{2}=y=e^z}, g(z)=e^{z/2}f(e^z)$. Тогда уравнение перепишется в виде:
$g(z+\ln 2)=\sqrt 2 g'(z)$.
Взяв в качестве $g(z)$ произвольную бесконечно дифференцируемую функцию в некотором интервале, например $(0,\ln 2)$ продолжаем влево и вправо. При продолжении вправо $x\to +\infty$ не возникает трудностей, если $g(z)$ была бесконечно дифференцируемой. При продолжении влево, т.е. при стремлении $x\to 0, z\to -\infty$ возникает бесконечное интегрирование и так же не должно возникнуть проблем с дифференцируемостью в 0.

[Oleg Zubelevich]

Руст в сообщении #412689 писал(а):

Вообще то решений бесконечно много. Если $f(x)$ решение, то $f(x)-f(0)$ так же решение. Поэтому можно считать $f(0)=0$.
Обозначим $\frac{x}{2}=y=e^z}, g(z)=e^{z/2}f(e^z)$. Тогда уравнение перепишется в виде:
$g(z+\ln 2)=\sqrt 2 g'(z)$.
Взяв в качестве $g(z)$ произвольную бесконечно дифференцируемую функцию в некотором интервале, например $(0,\ln 2)$ продолжаем влево и вправо. При продолжении вправо $x\to +\infty$ не возникает трудностей, если $g(z)$ была бесконечно дифференцируемой. При продолжении влево, т.е. при стремлении $x\to 0, z\to -\infty$ возникает бесконечное интегрирование и так же не должно возникнуть проблем с дифференцируемостью в 0.

я как раз написал доказательство того, что в классе непрерывно дифференцируемых функций других решений кроме $ax+b$ нет. Так что Вам чтоб не быть голословным, придется либо найти ошибку у меня, либо написать свое доказательство полностью и подробно.

[Руст]

Oleg Zubelevich в сообщении #413199 писал(а):

я как раз написал доказательство того, что в классе непрерывно дифференцируемых функций других решений кроме $ax+b$ нет. Так что Вам чтоб не быть голословным, придется либо найти ошибку у меня, либо написать свое доказательство полностью и подробно.

Ваше доказательство не проходит. В точке 0 не обязано быть ни минимума ни максимума. Стремление возможно колеблясь как у $x^2\sin{\frac 1x}.$
Попробую расписать подробнее.
Вводим другие переменные $y=\frac{x}{2}=e^z, g(z)=\sqrt yf(y).$
Тогда $g(z+\ln 2)=\sqrt{e^{z+\ln 2}}f(2y)=\sqrt x f(x)=\frac{\sqrt x}{2} f(y)+y\sqrt{2y} f'(y).$
Вычисляем производную
$g'(z)=\frac{dy^{1/2}f(y)}{dy}\frac{dy}{dz}=\frac{\sqrt y}{2}f(y)+y^{3/2}f'(y)$
Т.е. выполняется соотношение
$g(z+\ln 2)=\sqrt 2g'(z)$.
Для еще большего удобства обозначим $\phi(t)=g(\sqrt 2 t)$, тогда
$\phi'(t)=\phi(t+c), c=\frac{\ln 2}{\sqrt 2}$.
Зададим произвольную бесконечно дифференцируемую функцию $\phi(t)$ в интервале $t\in [0,c)$, что соответствует заданию $f(x)$ в интервале $[1,2)$ и продолжим на всю ось по $t$ или на все $x>0$.
Продолжение налево просто $\phi (t+nc)=\phi^{(n)}(t), t\in [0,c)$ берется $n$ - ая производная в заданном интервале. Возникает проблема сшивки $\phi^{(n+1)}(0)=\phi^{(n)}(c)$, которая легко решается например при выборе функции в интервале $[0,c]$ сделав так, чтобы все производные на границе были равны нулю.
Продолжим влево $\phi^{(n)(t-nc)}=\phi(t)$. Так как задали все производные нулевыми на границе. это легко интегрируется. Можно показать, что в пределе и $f^{(n)}(0)$ стремится к нулю вместе со всеми своими производными.

[Oleg Zubelevich]

Руст в сообщении #413325 писал(а):

Ваше доказательство не проходит. В точке 0 не обязано быть ни минимума ни максимума.$

процитируйте, пожалуйста, где я утверждал обратное.

Руст в сообщении #413325 писал(а):

Тогда $g(z+\ln 2)=\sqrt{e^{z+\ln 2}}f(2y)=\sqrt x f(x)=\frac{\sqrt x}{2} f(y)+y\sqrt{2y} f'(y).$

объясните, пожалуйста, откуда взялось последнее равенство: почему у $f'$ аргумент $y$, а не $2y$; почему $\frac{\sqrt{x}}{2}$ а не $\sqrt{x}$ на всякий случай напоминаю как выгдядит уравнение

man111 в сообщении #410084 писал(а):

$\bf f(x)=f(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}.f^{'}(x)$

[Руст]

Oleg Zubelevich в сообщении #413342 писал(а):

Тогда $g(z+\ln 2)=\sqrt{e^{z+\ln 2}}f(2y)=\sqrt x f(x)=\frac{\sqrt x}{2} f(y)+y\sqrt{2y} f'(y).$

объясните, пожалуйста, откуда взялось последнее равенство: почему у $f'$ аргумент $y$, а не $2y$; почему $\frac{\sqrt{x}}{2}$ а не $\sqrt{x}$ на всякий случай напоминаю как выгдядит уравнение

man111 в сообщении #410084 писал(а):

$\bf f(x)=f(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}.f^{'}(x)$

[/quote]
Еще подробнее.
Убеделись, что $g(z)=\sqrt x f(x)$. Соответственно он равен $\frac{\sqrt x}{2}f(y)+y\sqrt xf'(y)$.
Последняя означает, что функция $\frac{df}{dx}|_{x=y}$ , т.е. в какой точке вычисляется производная. По всей видимости я у себя в черновике поменял условие задачи на
$f(x)=\frac 12 f(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}f'(\frac{x}{2})$.
Но исходное уравнение аналогично этому и решается аналогично.
Запишем вначале в виде $(\frac{f(x)}{x^2})'=-\frac{2}{x^3}(f(x)-\frac{x}{2}f'(x))=-\frac{2}{x^3}f(\frac{x}{2}).$
Пусть $x=e^z, g(z)=e^{-2z}f(e^z)$. Тогда $g'(z)=\frac{d(f(x)/x^2)}{dx}\frac{dx}{dz}=-\frac{2f(\frac{x}{2})}{x^2}=-8g(z-\ln 2)$.
Вводим $t=\frac{z}{8},\phi(t)=g(8t),c=\frac{\ln 2}{8}$ и приходим к уравнению
$\phi'(t)=-\phi(t-c)$.
Далее аналогичное продолжение решения с интервала $(0,c)$.
Только производные берутся при $x\to 0$ и не удается сделать гладким в 0.

[Oleg Zubelevich]

Руст в сообщении #413366 писал(а):

Убеделись, что $g(z)=\sqrt x f(x)$

это неверно,

в соответствие с Вашими же обозначениями

Руст в сообщении #413325 писал(а):

$y=\frac{x}{2}=e^z, g(z)=\sqrt yf(y).$

Руст в сообщении #413366 писал(а):

Последняя означает, что функция $\frac{df}{dx}|_{x=y}$

а теперь $x=y$ странно

Руст в сообщении #413366 писал(а):

По всей видимости я у себя в черновике поменял условие задачи на
$f(x)=\frac 12 f(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}f'(\frac{x}{2})$.

т.е. Вы решаете другую задачу

Руст в сообщении #413366 писал(а):

Но исходное уравнение аналогично этому и решается аналогично.

это уже не аргумент

Руст в сообщении #413366 писал(а):

Запишем вначале в виде $(\frac{f(x)}{x^2})'=-\frac{2}{x^3}(f(x)-\frac{x}{2}f'(x))=-\frac{2}{x^3}f(\frac{x}{2}).$
Пусть $x=e^z, g(z)=e^{-2z}f(e^z)$. Тогда $g'(z)=\frac{d(f(x)/x^2)}{dx}\frac{dx}{dz}=-\frac{2f(\frac{x}{2})}{x^2}=-8g(z-\ln 2)$.
Вводим $t=\frac{z}{8},\phi(t)=g(8t),c=\frac{\ln 2}{8}$ и приходим к уравнению
$\phi'(t)=-\phi(t-c)$.
Далее аналогичное продолжение решения с интервала $(0,c)$.
Только производные берутся при $x\to 0$ и не удается сделать гладким в 0.

и какой вывод? Вам не удалось построить решения отличные от линейной функции или что?