Дайте рецензию на работу Зенкина

[Someone]

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):

Это не выдерживает критики. Как только Вы (или Кантор) поставите многоточие после последнего члена, сразу обратитесь к конкретному приведенному Вашим покорным слугой примеру "бесконечной последовательности отличных друг от друга величин" и покажите в каком интервале и какое число (пусть не множество, а хотя бы одно) пропущено.

Вы о своём первом сообщении?

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):

... что-то за последнее время изменилось и нижеследующее не может претендовать на конраргумент диагональному методу?
0-------------------0.0000000...
1--------------------0.1000000...
2-------------------0.2000000...
...............................
9-------------------0.9000000...
10-----------------0.01000000...
11-----------------0.1100000...
12-----------------0.21000000...
.....................................
5670000---------0.0000765000...
............................................
...абвг--------0.гвба....

Если слева у Вас натуральные числа, как это должно быть по определению счётного множества, то Вы нумеруете только так называемые десятично рациональные числа, то есть, числа, которые можно записать дробью $\frac k{10^n}$, где $n\geqslant 0$ и $k$ - целые числа, причём, конечно, не все десятично рациональные числа, а только принадлежащие полуинтервалу $[0,1)$. Возьмите в этом промежутке любое число, которое нельзя записать в таком виде, например, $\frac 13$, и попробуйте найти его в своём списке. Вам, кстати, на это число указывали, но Вы так и не указали его номер в Вашем списке.
Если слева у Вас не натуральные числа, а что-то другое, то это к счётности каких-либо множеств никакого отношения не имеет.
Андрей АK это понял. Может быть, и Вы поймёте. Пока у меня небольшая (очень небольшая) надежда на Вашу вменяемость есть.

Да, в Вашем первом сообщении ещё пара вопросов была.

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):

Извините за нескромный вопрос.
Что, в современной российской математике, действительно, до сих пор обсуждается правомерность (корректность) или неправомерность доказательства теоремы Кантора диагональным методом?

Я не слышал, чтобы этот вопрос хоть когда-нибудь обсуждался математиками. Математикам в этом методе всё ясно, и обсуждать тут нечего.

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):

... был получен ответ, что в математике актуальна континуум-гипотеза Кантора (или ее отрицание, но тоже как гипотеза)

Уже более 50 лет совершенно не актуальна, с тех пор, как П.Дж.Коэн доказал её независимость от аксиом теории множеств.

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):

Два столбца десятичных чисел, которые были приведены выше показывают только коллизию между алгеброй и геометрией. Диагональ "убегает" с каждым (почти)шагом на "клеточку" дальше от последней значащей цифры. Если изпользовать известный принцип построения диагонального элемента, то мы получим элемент, который уже ВЫПИСАН - его номер: 000...000, он стоит самым первым в правой колонке сверху.

Похоже, Вы не понимаете диагонального метода. В простейшем варианте (при совершенно беззаботном применении) этот метод предписывает на $n$-ном месте написать цифру, отличающуюся от $n$-ной цифры $n$-ного числа в списке. В Вашем списке $n$-ная цифра $n$-ного числа всегда равна $0$, поэтому мы имеем полное право всюду написать $1$, и получим число $0{,}1111111\ldots=\frac 19$, отсутствующее в Вашем списке. При неудачном выборе цифр может получиться число, присутствующее в списке (например, $0{,}19999999\ldots=0{,}2$), или число, не входящее в промежуток $[0,1)$, который Вы нумеруете (например, $0{,}99999999\ldots=1$), поэтому для корректного применения метода нужно сформулировать правила, гарантирующие получение требуемого числа. Для десятичной системы счисления мы можем, например, запретить писать цифры $0$ и $9$. В двоичной и троичной системах счисления такое правило, ссылающееся только на одну цифру, сформулировать нельзя. Метод, работающий в любой системе счисления, я указал в своём предыдущем сообщении. В применении к Вашему списку он даёт число $0{,}101010101010\ldots=\frac{10}{99}$, отсутствующее в этом списке.

Если же речь идёт о нумерации не чисел, а последовательностей цифр (как у Кантора), то перечисленные осложнения отсутствуют, и метод можно применять в самом простом варианте. Ещё раз повторюсь, Кантор не применял диагональный метод для доказательства несчётности множества действительных чисел непосредственно.

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):

Это парадокс другого уровня - между двумя разделами математики.

Не бывает таких парадоксов. Разные математические теории имеют разные аксиоматики, а парадокс - это пара противоречащих друг другу утверждений, доказанных в одной аксиоматике.
Например, есть геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. В одной утверждается, что через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной, а в другой - что таких прямых две. Никакого парадокса здесь нет, хотя бы потому, что прямые евклидовой геометрии не являются прямыми геометрии Лобачевского, и наоборот - прямые Лобачевского не являются прямыми Евклида.

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):

Два столбца десятичных чисел, которые были приведены выше показывают только коллизию между алгеброй и геометрией.

Нету тут никакой коллизии между алгеброй и геометрией, есть только коллизия между Вашим фактическим непониманием обсуждаемых вопросов и Вашим же самомнением.

[Андрей АK]

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):

Существует разница между системой зарубок Робинзона для учета натуральных чисел и системой десятичных чисел. Они эквивалентны в одном, но принципиально различаются в другом. ("Зарубки" Пеано, или фон Неймана и пр. являются робинзоноподобными). Десятичное счисление имеет уникальный механизм, отличный от всех робинзоноподобных. Двоичное тоже уникально (т.е. отлично и от десятичного)
Учет этого механизма относительно "пифагоровых штанов" и приводит к парадоксу.Робинзоноподобные системы с каждым шагом получают однозначное расширение: все подмножества будут содержаться во вновь полученном (отвлекитесь от "лжецов" и "расселов"- речь идет только об отличиях). В десятичном, двоичном и ... счислениях соотношение между расширением множества (а на каждом шаге мы получаем новое множество) и его полнотой иное. Замыкающим элементом полного множества всех чисел, состоящего из 1,2,3,... цифр (и менее) будет 0,9;0,99;0,999 .....

Да, рассуждая примерно также я и предположил в topic41457.html, что нет смысла говорить о континуальных числах, которые нельзя задать никаким способом - в них нет смысла, как нет смысла и в бесконечно больших числах.
Все что мы можем - это различными способами разлинеить отрезок плотными координатными сетками, которые отличаются только системами счисления или чем-то похожим.
А число знаков, требующихся для задания числа - должно быть всегда конечно.
Те же числа, что задаются бесконечным рядом знаков (как 1/3) - есть не что иное, как координата из другой системы счисления и приводить её как некое число, которое не вошло в список составленный при помощи ,например, двоичной или десятичной системы счисления - некорректно.
Да и насчет континуума можно поспорить - любая плотная система координат может задать любую точку с произвольной точностью, а больше ничего и не нужно.

[Someone]

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):

Все что мы можем - это различными способами разлинеить отрезок плотными координатными сетками, которые отличаются только системами счисления или чем-то похожим.

Наши возможности в задании чисел гораздо шире, даже если говорить о конструктивной математике, и далеко не ограничены системами счисления.

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):

Те же числа, что задаются бесконечным рядом знаков (как 1/3) - есть не что иное, как координата из другой системы счисления и приводить её как некое число, которое не вошло в список составленный при помощи ,например, двоичной или десятичной системы счисления - некорректно.

Извините, но объявлять число $\frac 13$ не существующим в десятичной системе счисления - это бред. Я был о Вас немного лучшего мнения.

Добавление.
Существует общепринятое понятие действительного числа, которое включает числа, записываемые бесконечной (вправо) последовательностью цифр. Речь идёт о несчётности именно этого множества действительных чисел, и число $\frac 13$ является контрпримером к построенной "нумерации" действительных чисел.
Если Вы желаете рассматривать только числа, записываемые конечной последовательностью десятичных цифр, то Вы получаете множество десятично рациональных чисел. Его счётность - это совершенно банальный факт, интересный только тем, кто впервые столкнулся с понятием счётности, и не имеющий никакого отношения к счётности или несчётности множества действительных чисел.

[ewert]

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):

А число знаков, требующихся для задания числа - должно быть всегда конечно.

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):

любая плотная система координат может задать любую точку с произвольной точностью, а больше ничего и не нужно.

Выберите что-то одно.

[Андрей АK]

ewert в сообщении #411441 писал(а):

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):

А число знаков, требующихся для задания числа - должно быть всегда конечно.

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):

любая плотная система координат может задать любую точку с произвольной точностью, а больше ничего и не нужно.

Выберите что-то одно.

Тут три смысла:
1) Нам нет никакого резона использовать никаким способом не задаваемые числа (например полученные при помощи бесконечного количества бросков идеального кубика) - назовем их неконструктивными числами или NK-числами.

2) Все остальные числа мы можем задать: правильно выбрав систему координат (систему счисления или иной способ) и используя конечное число знаков.

3) Если мы не можем ,для какого то числа, правильно подобрать систему координат (проблема P<>NP) в которой для записи определенного числа можно использовать конечное число знаков (или это не требуется для текущих нужд какой то задачи) то любое число (из тех, что не являются NK-числами) можно задать в произвольной системе координат, плотно покрывающей отрезок, с произвольной, наперед заданной , точностью.
(В принципе и NK- числа можно было бы так же задать, но для этого их надо сначала их записать ,любым способом, а это невозможно)

-- Чт фев 10, 2011 17:44:10 --

Someone в сообщении #411440 писал(а):

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):

Те же числа, что задаются бесконечным рядом знаков (как 1/3) - есть не что иное, как координата из другой системы счисления и приводить её как некое число, которое не вошло в список составленный при помощи ,например, двоичной или десятичной системы счисления - некорректно.

Извините, но объявлять число $\frac 13$ не существующим в десятичной системе счисления - это бред. Я был о Вас немного лучшего мнения.

Но ведь вы не можете назвать числа, записанного при помощи десятичной системы счисления, равного числу $\frac 13$ (без использования круглых скобок).
Значит в этой системе счисления такое число записать невозможно (только её приближенное значение).

[Someone]

Какое это всё имеет отношение к вопросу о несчётности множества действительных чисел в классическом понимании этого термина?

И Ваши ограничения являются неоправданно жёсткими даже для конструктивной математики.

Андрей АK в сообщении #411450 писал(а):

Значит в этой системе счисления такое число записать невозможно (только её приближенное значение).

Вы просто выдумываете всякие ограничения, лишь бы оправдать свои утверждения.

[Андрей АK]

Какое ограничение?
На использование скобок?
Это ограничение - только для примера.
Я могу расширить десятичную систему до десятичной системы со скобками.
Тогда в ней можно будет записать любое рациональное число.
Но зато в ней все ещё нельзя будет записать корень из двух.
А между тем в своей "координатной системе" - алгебраических чисел - корень из двух записывается всего двумя цифрами - т.е. конечным количеством знаков.
Но найдутся и такие числа, которые и при помощи "алгебраической системы счисления" нельзя записать конечным набором знаков ... но и для этих чисел можно найти "сопутствующую систему счисления" - в которой эти числа (число пи например) будут записаны при помощи конечного набора знаков.
Т.е. все эти рассуждения - какое число можно записать тем или иным способом, а какое - нет - это все проблемы перехода из одной системы счисления в другую.

[Someone]

Андрей АK в сообщении #411477 писал(а):

Т.е. все эти рассуждения - какое число можно записать тем или иным способом, а какое - нет - это все проблемы перехода из одной системы счисления в другую.

И никакого отношения не имеют к обсуждаемой задаче - несчётности множества действительных чисел.

[Toucan]

Андрей АK,

предупреждение за попытку продолжить обсуждение темы, помещенной в Пургаторий, и за попытку захвата чужой темы.

[Андрей АK]

Я только отвечаю на вопросы.
(А если не отвечаю - тоже будет предупреждение?)

Ладно, почему я считаю, что все доказательства несчетности дч некорректны:

Поскольку, все гипотетические алгоритмы пересчета всех действительных чисел при ,помощи натуральных номеров, предполагают, что все пересчитанные ,таким образом, числа будут "конструктивными" - т.е. полученными при посредстве какого-то алгоритма.
А любое доказательство - это алгоритм.
То любой гипотетический контрпример полученный при помощи алгоритма - есть конструктивное число.
Т.е. при помощи алгоритма невозможно получить неконструктивное число, а следовательно и доказать, несчетность действительных чисел.

Можно только аксиоматически постановить, что множество действительных чисел - несчетно.

Т.е. без операции отрицания над множествами невозможно из неконструктивных чисел получить конструктивные и следовательно доказать, что либо про их отношения (количества или качества).
А сама операция отрицания (типа определения:"членами этого множества есть все те, что не входят в другое множество") - такая операция в определениях и доказательствах есть некорректная операция.

Точнее, наверное должны сказать специалисты по конструктивной логике, но я таковым не являюсь, поэтому замолкаю.
(а то меня щас растреляют)

[ewert]

Андрей АK в сообщении #411477 писал(а):

А между тем в своей "координатной системе" - алгебраических чисел - корень из двух записывается всего двумя цифрами - т.е. конечным количеством знаков.Но найдутся и такие числа, которые и при помощи "алгебраической системы счисления" нельзя записать конечным набором знаков ... но и для этих чисел можно найти "сопутствующую систему счисления" - в которой эти числа (число пи например) будут записаны при помощи конечного набора знаков.Т.е. все эти рассуждения - какое число можно записать тем или иным способом, а какое - нет - это все проблемы перехода из одной системы счисления в другую.

Теперь обобщите свою "координатную систему" на $\pi$. И на $e$. И на $\int\limits_0^1e^{-x^2}dx$. И на все аналогичные случаи. Да, кстати, и не забудьте формализовать понятие "аналогичные".

Боюсь, что несколько умаетесь.

[Someone]

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):

Ладно, почему я считаю, что все доказательства несчетности дч некорректны:

Поскольку, все гипотетические алгоритмы пересчета всех действительных чисел при ,помощи натуральных номеров, предполагают, что все пересчитанные ,таким образом, числа будут "конструктивными" - т.е. полученными при посредстве какого-то алгоритма.

Ничего подобного в классической математике не предполагается. Никаких алгоритмов там нет. Поэтому это всё ерунда.
Что касается конструктивного рекурсивного анализа (CRA), то в нём множество конструктивных действительных чисел (КДЧ) хотя и счётно с точки зрения классической математики, но эффективно несчётно с точки зрения самого CRA: существует алгоритм, который перерабатывает любую конструктивную последовательность КДЧ в КДЧ, не содержащееся в этой последовательности, причём, последнее конструктивно доказуемо.

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):

То любой гипотетический контрпример полученный при помощи алгоритма - есть конструктивное число.

Ну и что? Метод, рассмотренный Кантором в его работе "Об одном свойстве всех действительных алгебраических чисел" (http://dxdy.ru/post410375.html#p410375), эффективен: если последовательность чисел задана, то этот метод определяет действительное число, заведомо не содержащееся в этой последовательности, которое можно вычислить с любой точностью. Примерно такой же метод используется и в CRA (с определёнными техническими усложнениями).

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):

А любое доказательство - это алгоритм.

Чушь. Доказательство - это текст.

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):

Точнее, наверное должны сказать специалисты по конструктивной логике, но я таковым не являюсь, поэтому замолкаю.

Правильно, хватит всякую чушь нести.

[Андрей АK]

ewert в сообщении #411527 писал(а):

Теперь обобщите свою "координатную систему" на $\pi$. И на $e$. И на $\int\limits_0^1e^{-x^2}dx$. И на все аналогичные случаи. Да, кстати, и не забудьте формализовать понятие "аналогичные".

Боюсь, что несколько умаетесь.

Самое простое, определить $\pi$ через длину окружности, а затем определить множество пи-натуральных чисел вида:
$0,\pi,2\pi,3\pi,...$
В этой системе отсчета $\pi$ задается числом с одним знаком (единицей).

[ewert]

Андрей АK в сообщении #411572 писал(а):

Самое простое, определить $\pi$ через длину окружности

Замечательно. А $e$ -- тоже через длину окружности?...

Я ж говорю -- умаетесь. Поберегите свои молодые силы.

[Андрей АK]

ewert в сообщении #411582 писал(а):

Андрей АK в сообщении #411572 писал(а):

Самое простое, определить $\pi$ через длину окружности

Замечательно. А $e$ -- тоже через длину окружности?...

Я ж говорю -- умаетесь. Поберегите свои молодые силы.

Так я не претендую.
Я только сказал, что для любого числа (алгоритмического) можно подобрать систему отсчета (то бишь алгоритм), в которой это число будет записано конечным числом символов.
Продолжу лучше в новой теме: "Информационная емкость чисел"