Об измерении, циркуле и линейке

[незваный гость]

Тема отделена из «Самое большое число в мире» // нг

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

e2e4 писал(а):

1. Иррациональные числа нельзя выразить отношением двух рациональных чисел;
2. Из 1 следует, что либо длина окружности, либо ее диаметр обязаны быть иррациональным числом, так?

Да, ну и что? Кто сказал, что все расстояния рациональны?

Кстати, в геометрии линейка обычно вовсе не имеет шкалы. Она — лишь инструмент для проведения прямых. А для измерения расстояний служит циркуль. В силу этого и не разршима задача о квадратуре круга.

[e2e4]

Спасибо, а я и не знал . Очевидно в принципе.

[shwedka]

незваный гость

Цитата:

измерения расстояний служит циркуль.

oшибаетесь!! Циркуль в геометрии служит для построения окружностей. а измерение вообще к геометрии (и, пожалуй, к математике вообще) не относится.

Цитата:

В силу этого и не разршима задача о квадратуре круга

неразрешимость задачи о квадратуре круга совершенно не связана с процессом измерений.

[незваный гость]

shwedka писал(а):

oшибаетесь!

Смею думать, что нет. Вопрос в том, что понимать под словом «измерение». Циркуль позволяет построить на прямой отрезок, равный по длине данному. При помощи одной линейки этого сделать нельзя.

shwedka писал(а):

неразрешимость задачи о квадратуре круга совершенно не связана с процессом измерений.

Связана. Если у Вас есть инструмент, позволяющий построить произвольное число диаметров, построили $\sqrt \pi /2$, и все в дамках.

[shwedka]

незваный гость

Цитата:

Вопрос в том, что понимать под словом «измерение»

Это так. Любой трезвый человек под словом измерение отрезка понимает нахождение отношения длины данного отрезка и длины стандартного, принятого за меру. Вам измеряют, взвешивают в магазине кусок колбасы: не демонстрируя кусок колбасы такого же веса, а предъявляя число, отношение веса куска колбасы к весу общепризнанного стандарта, килограммового эталона. Так что циркулем ничего не меряют!! Только проводят окружности. В качестве радиуса можно брать любой отрезок, в частности, уже присутствующий на чертеже. Тогда получается отрезокм, равный данному.

Цитата:

инструмент, позволяющий построить произвольное число диаметров

Вдруг Вы назвали построение измерением??? Это синонимы? с каких пор??
При квадратуре круга никаких измерений не производится. Как и при решении любой другой геометрической классической задачи. Происходит построение и доказательство. Невозможность квадратуры, то есть построения квадрата, равновеликого данному кругу объясняется не иррациональностью числа $\sqrt{\pi}/2$, а особыми алгебраическими свойствами этой иррациональности, в отличие от корня из двух.

[juna]

С помощью циркуля и линейки можно: строить отрезок, равный сумме, разности, произведению, частному двух данных, можно построить отрезок, равный квадратному корню из заданного. Т.е. максимум - квадратичные иррациональности. Если конструктивно, то можно квадрировать треугольник, любой многоугольник (разбив на треугольники), а круг - совокупность бесконечного числа треугольников - квадрировать по-честному (за конечное время) нельзя.

[shwedka]

Артамонов Ю.Н.

Цитата:

за конечное время

При чем здесь время?? Чем оно измеряется? Цоркулем, линейкой?
или циркуль у Вас стрелками работает?/

[juna]

Время измеряется числом операций алгоритма

[shwedka]

Артамонов Ю.Н.Если Вы хотели сказать о бесконечном количестве операций, то что мешало Вам сказать это прямо, а не вмешивать сомнительное время?? Вот задам я едкий вопрос, с чего мне знать, что все операции занимают одинаковое время? Может, в процессе вычислений я набиваю руку, становлюсь все проворнее, и в результате каждая следующая операция деллается вддвое быстрее предыдущей. Если что-то имеете в виду, пусть это будет на виду у Читателя.

При этом,
Конечность или бесконечность множества треугольников, которыми можно исчерпать фигуру, к квадрируемости иррелевантны.
Вот, скажем область под параболой, $y\in(0,x^2), x\in(0,1),$ Вы тоже конечным числом треугольников не исчерпаете, тем не менее, эта область прекрасно квадрируема циркулем и ленейкой, если взять другой алгоритм.

[juna]

shwedka писал(а):

Конечность или бесконечность множества треугольников, которыми можно исчерпать фигуру, к квадрируемости иррелевантны.
Вот, скажем область под параболой, $y\in(0,x^2), x\in(0,1),$ Вы тоже конечным числом треугольников не исчерпаете, тем не менее, эта область прекрасно квадрируема циркулем и ленейкой, если взять другой алгоритм.

Да, здесь я не спорю.
Мне нравится рассуждение http://kvant.mccme.ru/1987/12/vtoroj_za ... opolog.htm
хотя здесь о более широком классе квадрируемости

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

С помощью циркуля и линейки можно: строить отрезок, … произведению, частному двух данных, можно построить отрезок, равный квадратному корню из заданного.

Позволю себе усомнитсься в истиности данного утверждения. Хотя бы потому, что все перечисленные операции нарушают размерность ответа. Значение «квадратный корень из заданного» зависит не только от заданного отрезка, но и от незаданного единичного отрезка. Меняя единицу, меняется и корень. Поэтому «квадратный корень» отрезка смысла не имеет.

[juna]

Для любых двух отрезков очень просто найти отрезок, который их оба измеряет - он и будет единицей (одной из возможных).

[shwedka]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Для любых двух отрезков очень просто найти отрезок, который их оба измеряет - он и будет единицей (одной из возможных).

Да, если Вы выбрали единицу, то можете померить 2 отрезка и может оказаться, что длина одного, выраженная в ЭТОЙ единице, равна квадратному корню из длины другого. Но смена единицы такое равенство разрушит. Более того, для любых двух отрезков можно найти такую меру, что в ней длина одного это корень длины другого. Так что понятие квадратного корня из отрезка и вовсе зависит от случайного выбора. Вы перепутали. Что, действительно, циркулем и линейкой строится, это квадратный корень из произведения отрезков, на языке греков, квадрат, равный по площади данному прямоугольнику (если не знасете, попробуйте, полезно).

[juna]

Я не перепутал. Если одну сторону этого прямоугольника принять за единицу, то извлекете квадратный корень из отрезка. И это действительно задача квадратуры прямоугольника. А то, что выбор единичного отрезка для заданного произволен (делите на любое число равных частей) - никто не спорит.

[shwedka]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я не перепутал. Если одну сторону этого прямоугольника принять за единицу, то извлекете квадратный корень из отрезка. И это действительно задача квадратуры прямоугольника. А то, что выбор единичного отрезка для заданного произволен (делите на любое число равных частей) - никто не спорит.

Ну, о том, что одна из сторон берется за единицу измерения, это новация, раньше Вы об этом не писали.
А слова

Цитата:

делите на любое число равных частей

поясните, плиз.