Ряд из факториалов

[Gortaur]

Какую? И вообще, про отношение соседних членов - конечно, если там двойной факториал, чуть позже проверю, сейчас времени нет. Вы же спрашивали про $K(n)/K(m)$, где $m$ у Вас "найдется" - сказали бы, что оно зависит от $n$.
Там, кстати, будет не $f(2n-n\mod{2})$, а $f(2n+n\mod{2}-1)$.

В этой последовательности приращение 1-3-1-3-1-3, поэтому и отношение соседних будет то порядка $n$, то порядка $n^3$.

[e7e5]

Gortaur в сообщении #408815 писал(а):

Какую? И вообще, про отношение соседних членов - конечно, если там двойной факториал, чуть позже проверю, сейчас времени нет.

В этой последовательности приращение 1-3-1-3-1-3, поэтому и отношение соседних будет то порядка $n$, то порядка $n^3$.

$M(n)=n!/ \sqrt{n(n-1)(2n+5)/36}* 1/\sqrt{2 \pi}$ аппроксимирует последовательность A000140 ( см A181609 )
http://oeis.org/A000140

В наших обозначениях K(n) это подпоследовательность последовательности A000140, $n\equiv 2,3 \pmod4$, т.е изучаются свойства таких чисел:

? T(n,m) = polcoeff( prod(k=1,n-1, (1-x^(k+1) + O(x^(m+1)))/(1-x) ), m      );
? for(n=1,40, if(n%4==2 || n%4==3, print1(T(n,(n*(n-1)-2)/4),", ") ))
1, 2, 101, 573, 250749, 2409581, 3727542188, 50626553988, 190418421447330, 3344822488498265, 24965661442811799655, 538134522243713149122, 7016726879654720868145951, 179258893496663655603046622, 3741163513205099419577155249749, 110520062557960229937518882573780, 3463861806507747133152591395448445166, 116168034299493079570776886639370348862, 5208610500144919495844659270116658786563011, 195497593731392734506873788376896938168104207

Собственно и хочу сделать оценку для этой подпоследовательности по аналогии с A181609.
А где вы увидели двойной факториал?

[e7e5]

n   K(n)                        K(n+1)/K(n)           2n-0,5
1   1                                  2                1,5
2   2                                 50,5   
3   101                               5,673267327       5,5
4   573                               437,6073298   
5   250749                             9,609533837        9,5
6   2409581                         1546,966957   
7   3727542188                     13,58175211           13,5
8   50626553988                       3761,23608   
9   190418421447330                 17,5656455            17,5
10   3344822488498260                 7463,972013   
11   24965661442811700000            21,55498758        21,5
12   538134522243713000000      

[Gortaur]

В последовательностях целых чисел не силен, а про двойной факториал - перепутал, имелось ввиду факториал $2n$.

[e7e5]

Так здесь уже есть формула, из нее, как я понимаю, нужно подставить и найти закономерность. В табличке чисел, в третьей колонке отношения K(n+1)/K(n).
Но вот кубов я никак там не увижу. 1-3-1-3...