О непрерывности производной

[Gortaur]

Почему непохож? первого, неустранимый.

[Виктор Викторов]

Gortaur!
Мы с Вами уже обсуждали похожую проблему topic39443.html

[Diom]

Цитата:

Точка не может начать движение сразу с некоторой скоростью. Ну за исключением задач, где этим можно пренебречь. А в реальности появляется некоторая сила, которая вызывает ускорение, и за некоторое конечное время скорость непрерывно изменяется.

Ну с точки зрения физики это очевидно. Меня то здесь интересовала математическая сторона вопроса. Разрывом первого рода это быть не может в связи с доказанной теоремой. На разрыв второго рода это не похоже постольку по скольку пределы существуют и они конечны. Т.е. если я ничего не путаю это разрыв иного рода.

-- Чт фев 03, 2011 18:07:10 --

Цитата:

Почему непохож? первого, неустранимый.

Это не может быть разрывом первого рода. Да похож, но если это признать тогда получится, что теорема о том что у производной не может быть разрывов первого рода не верна

[gris]

Если Вы допускаете, что скорость точки может изменяться мгновенно, то допустите и то, что функция пути (положения) может быть недифференцируемой.
Но Ваши сомнения понятны. Производная имеет физический смысл — скорость точки на гладком отрезке пути. И обратное верно — на гладком, дифференцируемом участке пути скорость будет производной (ясно чего). Но для точек, где функция пути от времени недифференцируема, скорость не будет производной, хотя мы и можем приписать её точке без особых потерь в смысле задачи.

[Diom]

Извините, но я все-таки так и не понял. Судя по классификации разрывов в точке $t_0$ функция скорости имеет неустранимый разрыв первого рода. Но судя по теореме производная не может иметь разрывов первого рода. В чем подвох?

[Gortaur]

Виктор Викторов!
не думаю - там больше формализма было, и кроме непрерывности связи не вижу...

[gris]

Diom, если мы рассмотрим Вашу функцию даже без привязки к механике, то она в нуле недифференцируема. И производной в нуле не имеет. Вы можете доопределить производную в нуле по-своему. Но функция от этого не станет дифференцируемой. Это значение производной просто не удовлетворяет определению производной в точке. Функция скорости в Вашем примере не является производной функции пути в нулевой момент времени.

Но, возможно, Вы просто забыли, что интервалы в условиях теоремы открытые.
В условии теоремы говорится о дифференцируемой функции и о разрывах производной на, то есть фактически внутри, интервала дифференцируемости. Функция имеет два интервала дифференцируемости и производная непрерывна на каждом. Скачок у ней — на границе каждого интервала.

[Виктор Викторов]

Gortaur в сообщении #408655 писал(а):

Виктор Викторов!
не думаю - там больше формализма было, и кроме непрерывности связи не вижу...

То, что Вы называете формализмом, и есть суть понятия непрерывность.

[Dialectic]

ewert в сообщении #408540 писал(а):

Diom в сообщении #408536 писал(а):

Для доказательства можно использовать лишь базовые понятия вроде определения производной, предела, дифференциала.

Для доказательства вообще ничего нельзя использовать -- из существования производной вовсе не следует её непрерывность.

Хм... не могу понять почему? Разве из дифференцируемости функции в точке не следует её непрерывность в этой самой точке? По крайней мере Вики говорит, что следует.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 0%B8%D0%B8

[gris]

"Её" относится не к функции, а к самой производной. Из существования производной вовсе не следует непрерывность производной.

[Dialectic]

gris в сообщении #408678 писал(а):

"Её" относится не к функции, а к самой производной. Из существования производной вовсе не следует непрерывность производной.

Ах, вон о чем речь, извиняюсь...

[Виктор Викторов]

Dialectic в сообщении #408675 писал(а):

Разве из дифференцируемости функции в точке не следует её непрерывность в этой самой точке?

Непрерывность функции в точке, конечно, следует из существования производной в этой точке. Но ewert говорил о непрерывности самой производной, а это уже совсем другая степь.

[Dialectic]

Виктор Викторов в сообщении #408681 писал(а):

Dialectic в сообщении #408675 писал(а):

Разве из дифференцируемости функции в точке не следует её непрерывность в этой самой точке?

Непрерывность функции в точке, конечно, следует из существования производной в этой точке. Но ewert говорил о непрерывности самой производной, а это уже совсем другая степь.

Да, я понял, уже... Простите, устал за рабочий день, невнимательно прочел.

[Diom]

Благодарю всех за разъяснение :)

gris, не могли бы вы подсказать неплохую книгу(кроме Фихтенгольца) где излагались бы такие подробности, мои наблюдения показывают, что в такие детали вдаются далеко не во всех учебниках по матану.

[ewert]

Фихтенгольц, кстати, обошёлся с этим вопросом весьма невнятно (т.е. его точка зрения, разумеется, недвусмысленна, но эту недвусмысленность приходится домысливать). Те же уже упоминавшиеся тут Ильин с Позняком подошли к делу гораздо сознательнее (правда, они сильно зануды, но это уж другой вопрос; как и Фихтенгольц, впрочем).