Ну, обычно для элементарных функций это уже доказано. Далее - остальные функции с которыми мы сталкиваемся это
1. композиция элементарных
![$f(g(x))$ $f(g(x))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/5/0c567fa116d65b8f55f385a26f439ee982.png)
- тогда используется свойство что композиция двух непрерывных функций непрерывна.
2. склейка
![$h(x) = f(x),x\in A$ $h(x) = f(x),x\in A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/1/1515ed973aeba5a30ef8379343e0e20282.png)
и
![$h(x) = g(x),x\in B$ $h(x) = g(x),x\in B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/e/13edc2a01dd5b485bb03bee072d641a682.png)
Здесь нужно считать пределы на границе и проверять, совпадают они или нет.
3. Интегралы, ряды и т.д. - либо все хорошо и можно применять подходящую теорему (типа сходимости), либо не очень хорошо в некоторых точках и там нужно опять напрямую считать предел.
Обычно вопросы непрерывности встают именно в особых точках, а не на всем промежутке - то есть про Вашу функцию вы знаете, что она непрерывна на
![$(a,b)$ $(a,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd27d4708cd735f6ea469dc3debed0e82.png)
и
![$(b,c)$ $(b,c)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/e/53eca4677877b5ee313e8c847ca96e2c82.png)
- и нужно проверить непрерывность в точке
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
- тогда как я и написал выше, считаете односторонние пределы и сравниваете их.
Если есть дополнительный вопросы, давайте.
(естественно что я описал не все процедуры получения новых функций ))) )