Добрый день. Помогите пожалуйста доказать теорему: “Пусть функция
![$y(x)$ $y(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/2/aa2594ca75000ea2e1b07459b7ce3ca882.png)
дифференцируема на интервале
![$\left(a,b\right)$ $\left(a,b\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/9/ce9043526275d746caa2e76baac90f0082.png)
, тогда на этом интервале функция
![$\dfrac{dy(x)}{dx}$ $\dfrac{dy(x)}{dx}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/3/0e32c8511aaa0ac4b385b2aa16bba71d82.png)
не имеет точек разрыва.”
Для доказательства можно использовать лишь базовые понятия вроде определения производной, предела, дифференциала.
Вроде бы достаточно простая и очевидная теорема, но подступиться без привлечения уже довольно сложных теорем никак не получается.
Понятно, что если
![$y(x)$ $y(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/2/aa2594ca75000ea2e1b07459b7ce3ca882.png)
дифференцируема, то
![$\dfrac{dy(x)}{dx}$ $\dfrac{dy(x)}{dx}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/3/0e32c8511aaa0ac4b385b2aa16bba71d82.png)
по определению не имеет точек разрыва второго рода. Остается лишь доказать что
![$\dfrac{dy(x)}{dx}$ $\dfrac{dy(x)}{dx}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/3/0e32c8511aaa0ac4b385b2aa16bba71d82.png)
не имеет скачков. Для этого нужно доказать что для каждой точки
![$x_{0}\in\left(a,b\right)$ $x_{0}\in\left(a,b\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/9/7e9fef84725096b7fa9705c92708b6f482.png)
имеет место:
![$\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{dy(x_{1})}{dx}$ $\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{dy(x_{1})}{dx}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/3/953c54d6e9017d5c97d56503de4dbd9582.png)
.
Пробовал представить следующим образом:
![$\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{y(x_{0})-y(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}$ $\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{y(x_{0})-y(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/1/171cb51f2b0026567516f300555d5ae682.png)
в то время как из дифференциируемости следует:
![$y(x_{0})-y(x_{1})=\dfrac{dy(x_{1})}{dx}\left(x_{0}-x_{1}\right)+o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)$ $y(x_{0})-y(x_{1})=\dfrac{dy(x_{1})}{dx}\left(x_{0}-x_{1}\right)+o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/7/057ff90352f62b9dd4789184afd6648382.png)
тогда, подставив одно в другое получим:
![$\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{dy(x_{1})}{dx}+\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}$ $\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{dy(x_{1})}{dx}+\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/b/f4bb072779033f2745a98a9f3b824cad82.png)
Но проблема заключается в том, что из свойства функции
![$o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)$ $o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/0/1407f3d5be85d1231148f284595b33f382.png)
, утверждающего:
![$\lim_{x_{0}\rightarrow x_{1}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=0 $ $\lim_{x_{0}\rightarrow x_{1}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=0 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/1/ee13c669e9d2595e2048a12ed796f05f82.png)
, отнюдь автоматически не следует, что
![$\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=0$ $\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/8/f58969ab67f29e4d7ae344d2bb6b7f7982.png)
.
Может у кого будут какие предложения как доказать последнее? Ну или как вообще доказать всю теорему используя лишь базовые понятия.