Асимптотики сумм

[Imperator]

Мне нужно знать асимптотики таких сумм:
$\sum\limits_{{N(\alpha)}\leqslant x}1=...,$
$\sum\limits_{{N(\alpha)}\leqslant x}N(\alpha)=...,$
$\sum\limits_{{N(\alpha)}\leqslant x}\frac{1}{N(\alpha)}=....$
Здесь $\alpha\in\mathbb{Z}[i]$ -- гауссово целое, $N(\alpha)$ -- его норма, а $x$ достаточно велико.

[Sonic86]

Блин, была же где-то тема!
Постников Аналитическая теория чисел. Там смотреть надо.
Вообще достаточно одной асимптотики. Остальные можно высосать из одной найденной...

[Xaositect]

Так тут, по-моему, геометрической интуиции достаточно.
Возьмем на комплексной плоскости единичную сетку и окружность $|z|<x$. И вокруг кадого узла сетки внутри окружности возьмем квадратик размера $1\times 1$. Площадь получившейся фигуры равна первой сумме, и они почти весь круг покроют и немного за него вылезут, причем все различия находятся в достаточно узком кольце, не дальше $\sqrt 2$ от окружности.
Отсюда первая сумма $\sim \pi x^2$, если я не ошибаюсь.

[Imperator]

Xaositect
Вы правы. Только $\pi x.$ Доказательство этого я нашел (количество точек с целыми координатами в круге).

Sonic86
$\sum\limits_{N(\alpha)\leqslant x}1=\pi\cdot x+O(x^\frac{1}{3}).$

Как тогда остальные высосать?

[ИСН]

[Xaositect]

Ну вот линейным по $x$ оно уж точно никак быть не может.

[Imperator]

Xaositect
Если я скажу, что икс -- это квадрат радиуса круга, все равно будет непонятно?

[Xaositect]

Imperator в сообщении #407860 писал(а):

Если я скажу, что икс -- это квадрат радиуса круга, все равно будет непонятно?

Понял, извиняюсь.
Думал, что норма - это ограничение евклидовой нормы на комплексной плоскости. А про то, что в алгебре есть другая норма забыл.

[ИСН]

То есть та норма - квадрат этой, эээ, нормальной, человеческой нормы? Тогда ОК.

[Sonic86]

Sonic86 писал(а):

Блин, была же где-то тема!
Постников Аналитическая теория чисел. Там смотреть надо.

Вранье! В Постникове есть асимптотика плотности чисел, представимых в виде суммы 2-х квадратов.
Imperator! Вам же Xaositect уже написал: интерпретируете $N (\alpha)$ как точку на комплексной плоскости, и тогда получается

$$\sum\limits_{N(\alpha) \leq r} 1 \sim \iint\limits_{x^2+y^2 \leq r}dxdy$$

$$\sum\limits_{N(\alpha) \leq r} N(\alpha) \sim \iint\limits_{x^2+y^2 \leq r}(x^2+y^2)dxdy$$

$$\sum\limits_{N(\alpha) \leq r} \frac{1}{N(\alpha)} \sim \iint\limits_{1 \leq x^2+y^2 \leq r}\frac{1}{x^2+y^2}dxdy$$

Интегралы Вы считать умеете...

И вообще, если $f(n) = O(n^A)$, то $\sum f(n) \sim \int f(x)dx$

[Imperator]

Sonic86
Это все понятно, но меня интересуют остаточные члены.
Например,
$\sum\limits_{N(\alpha)\leq x}N(\alpha)=\frac{\pi x^2}{2}+O(?),$
$O(?)$ мне и надо.

[sup]

Пусть $K(x) = \sum\limits_{N(\alpha)\leq x}1$
Имеет место оценка (это не самая свежая, может есть и лучше)
$K(x)=\pi x +O(x^{13/40})$
Тогда
$\sum\limits_{N(\alpha)\leq x}N(\alpha)= K(x)x - \int \limits_1^xK(s)ds +C= \frac{\pi x^2}{2}+O(x^{53/40})$
Вообще то, здесь можно еще повозиться . Может и чуть лучше получится, если использовать еще одну оценку
$ \int \limits_0^Y (K(x)-\pi x)^2 dx = CY^{3/2} +O(Y^{1+\epsilon})$
Аналогично
$\sum\limits_{N(\alpha)\leq x}1/N(\alpha)= K(x)/x + \int \limits_1^xK(s)/s^2ds +C=\pi \ln x + C+O(x^{-27/40})$

[Imperator]

sup
Спасибо. Это как раз то, что мне надо. Нужны были подобного рода оценки от классических и до свежих. Не подскажете литературу?

[Руст]

Sonic86 в сообщении #408097 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Блин, была же где-то тема!
Постников Аналитическая теория чисел. Там смотреть надо.

Вранье! В Постникове есть асимптотика плотности чисел, представимых в виде суммы 2-х квадратов.
Imperator! Вам же Xaositect уже написал: интерпретируете $N (\alpha)$ как точку на комплексной плоскости, и тогда получается

$$\sum\limits_{N(\alpha) \leq r} 1 \sim \iint\limits_{x^2+y^2 \leq r}dxdy$$

$$\sum\limits_{N(\alpha) \leq r} N(\alpha) \sim \iint\limits_{x^2+y^2 \leq r}(x^2+y^2)dxdy$$

$$\sum\limits_{N(\alpha) \leq r} \frac{1}{N(\alpha)} \sim \iint\limits_{1 \leq x^2+y^2 \leq r}\frac{1}{x^2+y^2}dxdy$$

Интегралы Вы считать умеете...

И вообще, если $f(n) = O(n^A)$, то $\sum f(n) \sim \int f(x)dx$

Последнее неверно. Легко считается интеграл и он равен $2\pi \ln r$.
Для $n\le r$ уравнение $x^2+y^2=n$ не имеет решений, если $n$ имеет простой делитель $p=3\mod 4$ в нечетной степени. Соответственно представимых очень мало (их плотность стремится к нулю) порядка $O(\frac{r}{\sqrt{ \ln r}})$.
Сумму можно оценить следующим образом: $S=S_0+S_1+S_2$, где $S_1=4\sum_{n=1}^{[\sqrt r}\frac{1}{n^2}$ (вклад лежащих на осях), $S_2=2\sum_{n=1}^{[\sqrt{r/2}]}\frac{1}{n^2}$ (вклад лежащих на диагоналях) $S_0=8S_3$ (вклад остальных как 8 лежащих в секторе $0<y<x$).
$S_1+S_2\to \pi^2, r\to \infty$.
При вычислении $S_3$ можно выделить отдельно те, для которых $gcd(x,y)=k$ с учетом этого главный член для суммы будет

$$\frac{2\pi^2}{3}\sum_{n=2,rad(n)=n}^rg(n), \ g(n)=\prod_{p|n}\frac{1+\lambda (p)}{p-1}.$$

Здесь $\lambda(2)=0,\lambda(p)=(-1)^{(p-1)/2},p>2$ нетривиальный характер по модулю 4.
Учитывая, что для больших n число его простых делителей имеет порядка $O(\sqrt{\ln n})$, получаем, что стремление к бесконечности от r последней суммы гораздо быстрее чем $\ln r$. На самом деле основной вклад дают те, которые имеют порядка $c\ln r$ простых делителей. Они дают вклад растущий быстрее любой степени логарифма $O(r^a), a=O(\frac{1}{\ln \ln r})$.

[RIP]

http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html