Sonic86 писал(а):
Блин, была же где-то тема!

Постников Аналитическая теория чисел. Там смотреть надо.
Вранье! В Постникове есть асимптотика плотности чисел, представимых в виде суммы 2-х квадратов.
Imperator! Вам же
Xaositect уже написал: интерпретируете

как точку на комплексной плоскости, и тогда получается



Интегралы Вы считать умеете...
И вообще, если

, то

Последнее неверно. Легко считается интеграл и он равен

.
Для

уравнение

не имеет решений, если

имеет простой делитель

в нечетной степени. Соответственно представимых очень мало (их плотность стремится к нулю) порядка

.
Сумму можно оценить следующим образом:

, где

(вклад лежащих на осях),
![$S_2=2\sum_{n=1}^{[\sqrt{r/2}]}\frac{1}{n^2}$ $S_2=2\sum_{n=1}^{[\sqrt{r/2}]}\frac{1}{n^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/3/013bf4f9b3b10cc755e3fecefd7f676182.png)
(вклад лежащих на диагоналях)

(вклад остальных как 8 лежащих в секторе

).

.
При вычислении

можно выделить отдельно те, для которых

с учетом этого главный член для суммы будет
Здесь

нетривиальный характер по модулю 4.
Учитывая, что для больших n число его простых делителей имеет порядка

, получаем, что стремление к бесконечности от r последней суммы гораздо быстрее чем

. На самом деле основной вклад дают те, которые имеют порядка

простых делителей. Они дают вклад растущий быстрее любой степени логарифма

.