Наверное, даже и вообще
![$L_p$ $L_p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/4/994130a5ddf64169dffe9aeb6f50ac9182.png)
и
![$L_q$ $L_q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/8/01861b4e00087774847300c05eb6e3dc82.png)
с сопряжёнными показателями, раз уж непрерывные функции в них плотны. Но думать -- лень.
Да, за исключением случая
![$f\in L^\infty$ $f\in L^\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/3/51398b8f97a3f5e3e2f2e89a319736ff82.png)
,
![$g\in L^1$ $g\in L^1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/5/5c52803fc4cd21e867d06419c7efd56c82.png)
, так как непрерывные в
![$L^\infty$ $L^\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/f/1efa47af7cdcf62f34f540a35098b63b82.png)
не плотны.
-- Пн янв 31, 2011 13:12:56 --Пусть
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
непрерывно дифференцируема на
![$[0,T]$ $[0,T]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/b/aab0f08201b211261f795050337fa8df82.png)
,
![$g\in L^q[0,T]$ $g\in L^q[0,T]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190428ddcd928de5a5bb316f8cf51f8182.png)
,
![$1< q\leqslant+\infty$ $1< q\leqslant+\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/5/ae56e063d5fe5944e300ca7c50ff7aa282.png)
, периодически продолжена на всю прямую. Можно считать, что
![$\int_0^T g(x)dx=0$ $\int_0^T g(x)dx=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/c/e8c2a7aaab23d260fc0e8dc1ed92a8ec82.png)
, иначе сдвигаем на константу, как указывал
ewert. Надо показать, что
![$\int_0^T f(x)g(nx)dx\to 0$ $\int_0^T f(x)g(nx)dx\to 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/e/3de786b6bd4b501570c05c0381f8f46382.png)
при
![$n\to\infty$ $n\to\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/3/6c36031acca07a801eb81a809102fc9282.png)
. Обозначим
![$G(x)=\int_0^x g(t)dt$ $G(x)=\int_0^x g(t)dt$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/c/28cb9a5db536b92b20a3db4d09c6d1da82.png)
,
![$-\infty<x<\infty$ $-\infty<x<\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/a/aaa4aabf4c1696a4c380d87868aba0dc82.png)
.
![$G(x)$ $G(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/3/4f38cb7d706ba8680151f866bea79c5f82.png)
-- абсолютно непрерывная на всей прямой с периодом
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
, а значит, ограниченная на всей прямой
![$|G(x)|\leqslant M$ $|G(x)|\leqslant M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/8/7a804b46e66100a08c8a54f55de17ed482.png)
для всех
![$-\infty<x<\infty$ $-\infty<x<\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/a/aaa4aabf4c1696a4c380d87868aba0dc82.png)
. Интегрируем по частям
![$$\int_0^T f(x)g(nx)dx=\frac{1}{n}\int_0^T f(x)dG(nx)=\frac 1n f(x)G(nx)|_0^T-\frac{1}{n}\int_0^TG(nx)f'(x)dx =-\frac{1}{n}\int_0^TG(nx)f'(x)dx\to 0$$ $$\int_0^T f(x)g(nx)dx=\frac{1}{n}\int_0^T f(x)dG(nx)=\frac 1n f(x)G(nx)|_0^T-\frac{1}{n}\int_0^TG(nx)f'(x)dx =-\frac{1}{n}\int_0^TG(nx)f'(x)dx\to 0$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/8/6c87b6f6018946b1fac4c2594f41d11682.png)
, так как подынтегральная функция по модулю
![$\leqslant M\max\limits_{x\in[0,T]} |f'(x)|$ $\leqslant M\max\limits_{x\in[0,T]} |f'(x)|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/6/da6d3f70b91deea4c7f7352b0bc595fc82.png)
.
Функционалы
![$f\to\int_0^T f(x)g(nx)dx$ $f\to\int_0^T f(x)g(nx)dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/b/27bb22b54bd8c1f96d112d48f64b103582.png)
ограничены по норме в пространстве
![$L^p[0,T]$ $L^p[0,T]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/1/901168be39aa3d80c5c66bfe95bec4ac82.png)
,
![$\frac 1p+\frac 1q=1$ $\frac 1p+\frac 1q=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/0/7c0e9de9af856ea57a5a61dcd67e6a0082.png)
,
![$p<+\infty$ $p<+\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/2/b8282226a868395d1c8632c9a197263682.png)
(все нормы равны
![$\|g\|_{L^q[0,T]}$ $\|g\|_{L^q[0,T]}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/2/fa2723e33c224cd714dc9ab9a8c3439f82.png)
), и сходятся к
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
на всюду плотном в
![$L^p$ $L^p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/a/09af92d48ab87fa468ebde78082d109182.png)
множестве
![$C^1$ $C^1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/d/42d00d5252670357cf0cb057d478c90982.png)
, значит сходятся к нулю и на всём
![$L^p$ $L^p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/a/09af92d48ab87fa468ebde78082d109182.png)
.