Требования в условиях теоремы явно избыточны. От функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
никакой дифференцируемости не нужно, достаточно непрерывности. От функции
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
даже и непрерывности не требуется, достаточно только интегрируемости и ограниченности (скорее всего, даже и ограниченность не нужна, но -- пусть, на всякий случай и чтоб не мучиться).
Доказательство банально. Во-первых, можно считать функцию
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
положительной (т.к. при прибавлении к ней константы обе части доказываемого равенства изменятся на одну и ту же величину). Обозначим через
![$\overline g=\frac{1}{T}\int\limits_0^Tg(x)\,dx$ $\overline g=\frac{1}{T}\int\limits_0^Tg(x)\,dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/b/a0b4162ac804369df87a9acd3c83222282.png)
среднее значение функции
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
; пусть
![$h=\frac{T}{n}$ $h=\frac{T}{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/b/91bfc4514792143fc54d9f4b5ee83bbf82.png)
и
![$\Delta_k=[(k-1)h;\,kh]$ $\Delta_k=[(k-1)h;\,kh]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/7/e07131cffd7bc4a27f946b256f6e651e82.png)
. Период
![$[0;T]$ $[0;T]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/4/5f43925c1c5ef95347aee9594cc84f6a82.png)
функции
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
разбивается на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
отрезков
![$\Delta_k$ $\Delta_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/c/06ce646ed4f5c14cd540fc9284ccf08382.png)
, каждый из которых является периодом функции
![$g(nx)$ $g(nx)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/e/5cecb4c97603ab152eab7a1503a16d7982.png)
, поэтому
![$\int\limits_{\Delta_k}g(nx)\,dx=\overline g\cdot h$ $\int\limits_{\Delta_k}g(nx)\,dx=\overline g\cdot h$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/7/897656dbd0ae0360df4a148a48ffc23d82.png)
. Для любой положительной
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
и непрерывной
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
на каждом отрезке верна теорема о среднем:
![$\int\limits_{\Delta_k}f(x)g(nx)\,dx=\overline g h\cdot f(\xi_k)\,,$ $\int\limits_{\Delta_k}f(x)g(nx)\,dx=\overline g h\cdot f(\xi_k)\,,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/b/3bbdac262eceb97cb6b7f7327fa86a7382.png)
где
![$\xi_k\in\Delta_k$ $\xi_k\in\Delta_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/0/8006444d781e0c99464ff82691350c0382.png)
. Тогда
![$\int\limits_0^Tf(x)g(nx)\,dx=\overline g\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)\cdot h\,.$ $\int\limits_0^Tf(x)g(nx)\,dx=\overline g\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)\cdot h\,.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/0/810bf84a5a688f22edf1ebdb6ee7263b82.png)
Последняя сумма является интегральной для
![$\int\limits_0^Tf(x)\,dx\,,$ $\int\limits_0^Tf(x)\,dx\,,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/c/77ca494024a93764c02aec8d1f7cab8482.png)
, а значит, к этому интегралу и стремится, вот и всё.
Разрывы у функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, кстати, тоже допустимы -- например, ей разрешается иметь конечное число точек разрыва (при условии, что она ограниченна), но это уже ловля блох.