Рассмотрим уравнение
(1)

.
Пусть

четное число.
Уравнение (1) -это уравнение вида
(2)

,
где

- четные числа,

и

- нечетные числа.
Все решения этого уравнения в рациональных числах, как известно, имеют следующий вид
(3)

,
где

есть рациональные числа.

, в данном случае, нас не интересует.
Поэтому, из уравнения (1), на основании формулы (3), получим

.
Подставив в это уравнение вместо

их рациональные значения,
и учтя, что если уравнение (1) имеет решение в рациональных числах,
то

имеют один и тот же знаменатель

,получим

.
Отсюда
(4)

,
где

- целые числа.
Уравнение (4) это уравнение вида (2). Применим формулу (3), получим

,
или
(5)

.
Из (4) и (5) имеем:
(6)

.
Отсюда имеем, что 4 кратно

.
Допустим

.
Тогда из (6)

,
или

.
Таким образом, уравнение (1) не имеет решения в целых числах, кроме тривиальных.
-- Пн янв 31, 2011 15:11:20 --Рассмотрим уравнение
(1)

.
Пусть

четное число.
Уравнение (1) -это уравнение вида
(2)

,
где

- четные числа,

и

- нечетные числа.
Все решения этого уравнения в рациональных числах, как известно, имеют следующий вид
(3)

,
где

есть рациональные числа.

, в данном случае, нас не интересует.
Поэтому, из уравнения (1), на основании формулы (3), получим

.
Подставив в это уравнение вместо

их рациональные значения,
и учтя, что если уравнение (1) имеет решение в рациональных числах,
то

имеют один и тот же знаменатель

,получим

.
Отсюда
(4)

,
где

- целые числа.
Уравнение (4) это уравнение вида (2). Применим формулу (3), получим

,
или
(5)

.
Из (4) и (5) имеем:
(6)

.
Отсюда имеем, что 4 кратно

.
Допустим

.
Тогда из (6)

,
или

.
Таким образом, уравнение (1) не имеет решения в целых числах, кроме тривиальных.
-- Пн янв 31, 2011 16:04:20 --Если вышеприденные доказательства верны,
то тогда правомерно рассмотреть уравнение

,
где

- простое число и

.