а если его все-таки вводить, то можно ли ввести так, чтобы длины сохранялись?
Вот, например, для параметризованных кривых... если не наврал на ночь глядя:))). Но смысл в том, что нужна и сходимость производных там, где они есть. Именно поэтому любая последовательность описанных (касательные!) многоугольников со стремящимися к нулю сторонами годится для вычисления длины окружности.
Скажем, что последовательность кусочно-гладких непрерывных кривых (а ломаная является таковой)
![$\gamma_n:[0;1]\to\mathbb{R}^2$ $\gamma_n:[0;1]\to\mathbb{R}^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/0/790b124f3dd849c23ade3101bd95905082.png)
сходится к непрерывной кусочно-гладкой кривой
![$\gamma:[0;1]\to\mathbb{R}^2$ $\gamma:[0;1]\to\mathbb{R}^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/8/c888fd536d30ca003ba90cb0417ca11482.png)
, если
для любого

найдется такое

, что для любого

![$$
\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n(t)-\gamma(t)|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n'(t-0)-\gamma'(t-0)|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n'(t+0)-\gamma'(t+0)|<\varepsilon
$$ $$
\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n(t)-\gamma(t)|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n'(t-0)-\gamma'(t-0)|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n'(t+0)-\gamma'(t+0)|<\varepsilon
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/a/c4a1f1fe3cb8c53d01804d5869e07bf282.png)
(у кусочно-гладкой кривой односторонние производные всегда имеются)
По отношению к такой сходимости длина, очевидно, непрерывна