Где ошибка? (длина окружности, pi=4?)

[paha]

Joker_vD в сообщении #406888 писал(а):

Во, а еще можно по другому определить сходимость ломанных к кривой: количество общих точек неограничено возрастает.

это совсем негодное определение: возьмите "пилу" (около кривой) у которой число зубцов растет

[Joker_vD]

Угу. А еще можно вообще не вводить понятия "последовательность ломаных сходится к кривой", больно оно скользкое. Кстати, а если его все-таки вводить, то можно ли ввести так, чтобы длины сохранялись?

(Оффтоп)

Да что ж такое, все время печатаю "ломанная"

[paha]

Joker_vD в сообщении #406905 писал(а):

а если его все-таки вводить, то можно ли ввести так, чтобы длины сохранялись?

Вот, например, для параметризованных кривых... если не наврал на ночь глядя:))). Но смысл в том, что нужна и сходимость производных там, где они есть. Именно поэтому любая последовательность описанных (касательные!) многоугольников со стремящимися к нулю сторонами годится для вычисления длины окружности.

Скажем, что последовательность кусочно-гладких непрерывных кривых (а ломаная является таковой) $\gamma_n:[0;1]\to\mathbb{R}^2$ сходится к непрерывной кусочно-гладкой кривой $\gamma:[0;1]\to\mathbb{R}^2$, если
для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $N\in\mathbb{N}$, что для любого $n>N$

$$ \max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n(t)-\gamma(t)|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n'(t-0)-\gamma'(t-0)|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\gamma_n'(t+0)-\gamma'(t+0)|<\varepsilon $$

(у кусочно-гладкой кривой односторонние производные всегда имеются)

По отношению к такой сходимости длина, очевидно, непрерывна

[paha]

конечно, можно эту сходимость определить и для классов (параметризованных) кривых. Достаточно в приведенной формуле взять инфинум по всем перепараметризациям. Т.е. функционал длины непрерывен на пространстве кусочно-гладких кривых с расстоянием

$$ \rho(\gamma,\mu)=\inf_{f,g\in {\rm Diff} [0;1]}\Bigl(\max\limits_{t\in[0;1]}|\mu(f(t))-\gamma(g(t))|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\mu'(f(t-0))-\gamma'(g(t-0))|+\max\limits_{t\in[0;1]}|\mu'(f(t+0))-\gamma'(g(t+0))|\Bigr)$$

[Chifu]

А ещё есть береговая линия фьёрдов. :)

[Nikolay1985]

Ознакомьтесь с парадоксом Шварца про треугольники, и Вам всё станет понятно.