Чему равно отношение кинетической энергии точки?

[Ferd]

Munin

А как бы Вы это всё решили от начала до конца, если не ленитесь, то напишите, пожалуйста, решение)))

Спасибо!

[Munin]

Если я ленюсь ваше решение проверить, то и сам от начала до конца, разумеется, ленюсь сделать :-)

[Ferd]

Munin

И всё-таки какое же будет правильное решение этой задачи?

[Ferd]

Munin

Уравнение гармонического колебания материальной точки имеет вид

$x = Asin(\omega_0t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота колебаний. Считаем, по умолчанию, что начальная фаза колебаний $\phi_0=0$. Тогда

$x=Asin\cdot{\omega}\cdot{t}$
$v=x'=A\omegacos\cdot{\omega}\cdot{t}$

где $v$ — скорость точки (скорость равна первой производной от координаты).

Кинетическая энергия материальной точки равна

$W_k=\frac{m\cdot \upsilon^{2}}{2} = \frac{m}{2}\cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}$

Потенциальная энергия

$W_p=\frac{k \cdot x^{2}}{2} = \frac{k}{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}$

Коэффициент жёсткости колебательной системы найдём следующим образом:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \, \, \, k = m\cdot\omega^{2}$

В итоге получаем

$\frac{W_{k}}{W_{p}} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}}{2} \cdot \frac{2}{m \cdot \omega^{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}} = ctg^{2} \omega \cdot t$

Так как $\omega=\frac{2\pi}{T}$ и $t=\frac{T} {12}$, то

$\frac{W_{k}}{W_{p}} = ctg^{2} \frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = ctg^{2} \frac{\pi}{6} = 3$

[Ferd]

ShMaxG

Колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты друг относительно друга по фазе на ${\pi}$ (на полпериода).
Когда кинетическая энергия достигает максимума, потенциальная - минимума (нуля) и наоборот.
Энергия при колебаниях постоянно перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно.

Это пригодится мне для решения этой задачи?

Мы поначалу все здесь ошибались, мы думали, что они находятся (в смысле энергии) в противофазе $\dfrac{\pi}{2}$, а на самом деле это не так...

Вот уж помогите пожалуйста чего тут не хватает в задаче?

Спасибо!

[Munin]

Ferd в сообщении #408020 писал(а):

Мы поначалу все здесь ошибались, мы думали, что они находятся (в смысле энергии) в противофазе $\dfrac{\pi}{2}$, а на самом деле это не так...

Это вы ошибались. Радует, что вы наконец-то добрались до правильного ответа.

[Ferd]

Munin

А можно не принимать начальную фазу, равную нулём?

[Munin]

Можно. Но тогда разность фаз всё равно останется та же самая.

[Ferd]

Munin

Разность фаз каких?

[Munin]

Например, разность фаз координаты и скорости. Или разность фаз потенциальной и кинетической энергии.

[Ferd]

Munin

Задача некорректная именно из-за того, что не дана начальная фаза
колебаний.
В общем виде решение примерно такое: ${x}={A}{cos(\phi)}$, где
${\phi}={\omega}{t}+{\phi_0}$ - фаза.
Тогда ${v}={A}{\omega}{sin(\phi)}$ - скорость частицы.
${E_p}=\dfrac{(kx^2)}{2}=\dfrac{(kA^2cos^2(\phi))}{2}$ - потенциальная энергия, ${E_k}=\dfrac{(mv^2)}{2}=\dfrac{(mA^2\omega^2sin^2(\phi))}{2}=\dfrac{(kA^2sin^2(\phi))}{2}$, так как
${\omega}=\dfrac{k}{m}$ - это циклическая частота колебаний.
Следовательно,$\dfrac{E_k}{E_p}={tg^2(\phi)}={tg^2(\omegat+\phi_0)}$.
При этом циклическая частота связана с периодом ${T}$: ${\omega}=\dfrac{2\pi}{T}$.
То есть, ${E_k}{E_p}={tg^2(\dfrac{{2}{\pi}{t}}{T}+\phi_0)}$.
Если теперь принять ${\phi_0}={0}$ (то есть колебания начаты с крайнего положения - неважно, левого или правого), то ответ будет ${tg^2(\dfrac{\pi}{6})}=\dfrac{1}{3}$,
а если ${\phi_0}=\dfrac{\pi}{2}$ (то есть колебания начаты с положения равновесия), то ответ будет ${tg^2(\dfrac{2\pi}{3})}={3}$.
Но! Колебания могут начинаться из любого состояния (то есть ${\phi_0}$ - любое).
Тогда ответ будет любым!

[Munin]

Да, в той формулировке, которую вы привели (в сообщении 1), задача некорректная. Обычно это происходит из-за того, что вы плохо переписали или плохо запомнили или плохо расслышали ту формулировку, которая была в задачнике или продиктована преподавателем.

[Ferd]

Munin

Начальная фаза, по умолчанию равна нулю.

${\phi_0}={0}$

[Munin]

Этого недостаточно, надо уточнить, что подразумевается под нулевой фазой. Максимальное отклонение и нулевая скорость? Или максимальная скорость и нулевое отклонение?

[Ferd]

Munin

Для чего нужно такое уточнение?Уточните пожалуйста?