ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Посадил. Часть уже украли. Продолжаю.

Рассмотрим вектор размерности, к примеру, $n=7$.
Пусть первая его координата равна $-1$, а каждая из других равна либо $1$ либо $0$. Верно ли я понимаю, что каждый такой вектор определяет одну из вершин $7$-мерного гиперкуба со стороной $1$?
Из множества этих векторов выберем такие, у которых лишь три координаты не равны $0$: первая со значением $-1$, $k$-я и $(n-k+2)$-я со значениями $1$. Таких векторов будет три:

$\vec s_{27}=(-1,1,0,0,0,0,1)$
$\vec s_{36}=(-1,0,1,0,0,1,0)$
$\vec s_{45}=(-1,0,0,1,1,0,0)$

Далее, возьмем вектор $\vec p_1=(7,6,5,4,3,2,1)$ и умножим скалярно на каждый из приведенных векторов.
Мы увидим:
1. Все скалярные произведения равны $0$, значит все $s$-векторы принадлежат одной гиперплоскости.
2. Каждый $s$-вектор определяет вершину гиперкуба.
Следовательно, все $s$-векторы лежат на одной стороне гиперкуба.

Можно указать преобразование переводящее вектор $\vec p_1=(7,6,5,4,3,2,1)$ в вектор $\vec p_2=(7^2,6^2,5^2,4^2,3^2,2^2,1^2)$.
Вопрос: как найти сечение указанного гиперкуба гиперплоскостью с нормалью $\vec p_2$?

P.S. Размерность $n=7$ была взята для демонстрации. Понятно, что минимальная размерность гиперкуба при которой гиперплоскость пересечет лишь одну его вершину равна $n=25$ (первая пифагорова тройка: $9+16=25$).

[serval]

В постскриптуме я ошибся. Минимальная размерность гиперкуба будет равна $n=5$, поскольку $3^2+4^2=5^2$ вовсе не то же самое, что $9+16=25$.

[serval]

Можно поставить задачу так: сколько граней гиперкуба с единичным ребром образовано вершинами имеющими лишь $3$ ненулевых координаты младшая из которых имеет значение $-1$, а две других значения $1$?

serval в сообщении #390899 писал(а):

все $s$-векторы лежат на одной стороне гиперкуба.

Извиняюсь. Не на стороне, а на грани.

[serval]

Не составляет труда выписать координаты вершин гипперкуба размерности $n$ имеющего единичное ребро, первую координату $0$ либо $-1$, а остальные $0$ либо $1$.
Также не составит труда выбрать из них те, которые имеют лишь $3$ ненулевых координаты первая из которых равна $-1$.
А как сгруппировать полученные вершины по принадлежности к граням?
Видимо, это комбинаторная задача. Пожалуйста, помогите.

P.S. Если ВТФ верна и если я не ошибся в рассуждениях, то таких граней должно быть не более $2$ независимо от размерности гиперкуба. Буду благодарен за содержательную (желательно, русскоязычную) ссылку про гиперкуб.

P.P.S. Вообще-то, координата равная $-1$ не обязательно должна быть первой. Она должна быть первой из $3$ ненулевых координат.

[serval]

Кажется, проще уже некуда - проанализировать вершины гиперкуба на принадлежность граням. Кто-нибудь из заслуженных участников это читает?

[serval]

Пообщался с умными людьми, спасибо им, появилось (конечно, не доказательство, но) сильное подозрение о причине верности ВТФ.

Иллюстрация.

1. Берем привычный ортонормированный базис из $3$ ортов.
2. На осях задаваемых ортами засекаем точки $1$ и $-1$.
3. В каждой из $2$ точек лежащих на каждой из осей располагаем плоскость нормальную этой оси.
4. Пересечением плоскостей получаем куб с центром в начале координат и стороной равной $2$.

Рассмотрим сечение куба произвольной плоскостью вектор нормали которой имеет целые компоненты и опирается на начало координат.

Возможны $2$ случая:

1. Сечение будет содержать целые точки принадлежащие поверхности куба.
2. Сечение не будет содержать таких целых точек (будет содержать другие - лежащие вне поверхности куба).

Теперь вместо куба возьмем гиперкуб размерности $z$ из условия ВТФ ($x^n+y^n=z^n$).

Тогда $1$-й случай отвечает показателям степени в условии ВТФ равным $1$ и $2$, а второй случай - показателям равным $3$ и выше.

[serval]

Куда податься аграрию с гиперкубом? Поеду сторожить сад, может там посчитаю пересечения гиперплоскостей.

[serval]

Очередная мысль. Возможно, не понадобится даже гиперкуб, достаточно трехмерия. Нужно нарисовать. Только времени совсем нет.

[serval]

Рассмотрим куб с началом в центре координат и стороной равной $2$.
Тогда точки $(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1),\ (-1,0,0),\ (0,-1,0),\ (0,0,-1)$ являются центрами его граней,
точки $(1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1),\ (-1,-1,0),\ (-1,0,-1),\ (0,-1,-1),\ (1,-1,0),\ (1,0,-1),\ (0,1,-1),\ (-1,1,0),\ (-1,0,1),\ (0,-1,1)$ – центрами его ребер,
а точки $(1,1,1),\ (1,1,-1),\ (1,-1,1),\ (1,-1,-1),\ (-1,-1,-1),\ (-1,-1,1),\ (-1,1,-1),\ (-1,1,1)$ – его вершинами.

Далее, рассмотрим гиперкуб размерности $N>3$.
Понятно, что точки имеющие единственную ненулевую координату – центры граней гиперкуба, а точки не имеющие нулевых координат – его вершины.
Верно ли, что все точки содержащие как ненулевые так и нулевые координаты являются центрами ребер гиперкуба?

[Someone]

serval в сообщении #405906 писал(а):

Верно ли, что все точки содержащие как ненулевые так и нулевые координаты являются центрами ребер гиперкуба?

Если термин "ребро" понимать в обычном смысле, то есть, как отрезок, соединяющий две вершины многогранника, то, разумеется, неверно. Обычно говорят о $k$-мерных гранях $n$-мерного многогранника. В частности, $n$-мерный гиперкуб имеет $C_n^k\cdot 2^{n-k}$ $k$-мерных граней ($k=0,1,2,\ldots,n-1$). Рёбра - $1$-мерные грани.

[serval]

Someone в сообщении #406003 писал(а):

Рёбра -$1$-мерные грани.

Пусть будут гиперребра. Тогда верно?
Или такие точки будут центрами граней размерности $N>1$?
Конкретно, центрами граней какой размерности являются точки имеющие лишь $3$ ненулевых координаты?

[Someone]

Зачем придумывать термин "гиперрёбра", если есть широко распространённый термин "$k$-мерные грани"?

В Вашем кубе центрами $k$-мерных граней будут точки, у которых $k$ координат равны $0$, а остальные - $\pm 1$.

P.S. Вашим обозначением $N$ я не пользуюсь, потому что Вы его гоняете и в хвост, и в гриву. В одном месте это размерность куба, в другом - размерность грани... Нельзя же всё одной буквой обозначать.

[serval]

Someone в сообщении #407235 писал(а):

центрами $k$-мерных граней будут точки, у которых $k$ координат равны $0$, а остальные - $\pm 1$.

Спасибо. Значит, к примеру, в $7$-мерном гиперкубе точка, скажем, $(-1,0,1,0,0,1,0)$ будет центром $4$-мерной грани.

А можно ли решить следующую задачу задачу?

Дан вектор нормали $\vec n_1$ гиперплоскости секущей гиперкуб. Известны все принадлежащие этому сечению центры $k$-мерных граней. Подействуем на вектор $\vec n_1$ линейным оператором матрица которого известна и получим вектор $\vec n_2$. Можно ли найти все центры $k$-мерных граней принадлежащих сечению гиперкуба гиперплоскостью с вектором нормали $\vec n_2$?

[serval]

При этом, центр гиперкуба расположен в начале координат, его сторона равна $2$, а секущие гиперплоскости проходят через его центр.

Собственно, к этой задаче сводится доказательство ВТФ:
1. Известен вектор $\vec n_1$ отвечающий случаю $x^1+y^1=z^1$ и все центры $k$-мерных граней принадлежащих сечению гиперкуба нормальной этому вектору гиперплоскостью.
2. Известен линейный оператор переводящий вектор $\vec n_1$ в вектор $\vec n_2$ отвечающий случаю $x^2+y^2=z^2$.
3. Требуется найти все центры $k$-мерных граней принадлежащих сечению гиперкуба нормальной вектору $\vec n_2$ гиперплоскостью и убедиться в их совпадении с пифагоровыми тройками.
4. Подействовав данным линейным оператором на вектор $\vec n_2$ получить вектор $\vec n_3$ отвечающий случаю $x^3+y^3=z^3$ и убедиться в том, что нормальная ему гиперплоскость не сечет поверхность гиперкуба по целым точкам.

Вот как все просто

Да, если гиперкуб имеет размерность $N_c$, то интересующие нас грани будут иметь размерность $k=N_c-3$ (понятно, что центры не всех таких граней будут принадлежать соответствующим сечениям).

Пост-мысль: в каждом случае можно проверять центры всех $k$-мерных граней на принадлежность соответствующей гиперплоскости.

[serval]

А ведь центры интересующих нас $k$-мерных граней, кроме того что принадлежат одной гиперплоскости, еще и имеют одинаковую длину. Значит, они лежат на $(N_c-1)$-мерной окружности. Так?
Интересно, как они распределены по этой окружности в случаях первой и второй степеней в условии ВТФ?
Нельзя ли это использовать в доказательстве?