2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 14:15 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
flame19 в сообщении #403385 писал(а):
насчёт перебора коэффициентов непонятно, как посчитать число приводимых многочленов...
Учесть, что каждый приводимый полином второй степени есть произведение двух полиномов первой степени (не обязательно различных)
Цитата:
и всё же вот это:
Цитата:
в каждом конечном поле число элементов есть натуральная степень некоторого простого числа $p$. у нас дано конечное поле $F_p$. его подполем будет как раз множество многочленов второй степени. т.е. если рассматривать это как векторное пространство над этим подполем, то 2 - это размерность этого пространства, тогда всего элементов подполя (т.е. множества многочленов второй степени) будет $p^2$.

верно или нет??
Это какая-то ахинея!
Цитата:
потому что суть вроде бы ясна, хотя смущает, что подполе содержит больше элементов чем само поле.....
И это тоже. И многое другое:
О каких подполях поля $\mathbb{F}_p$ речь? У поля из $p$ элементов нет собственных подполей.
С каких пор многочлены стали элементами поля $\mathbb{F}_p$?
Наконец, $p^2$ - это число элементов квадратичного расширения поля $\mathbb{F}_p$, полученного присоединением корня одного неприводимого над $\mathbb{F}_p$ полинома второй степени (а значит, и всех корней всех таких полиномов), а вовсе не число самих полиномов.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 14:36 


02/01/11
69
ааа... спасибо

-- Вс янв 23, 2011 15:03:03 --

Тогда пусть так:
$\frac {p-!}{(p-3)!}$ - количество всех многочленов 2 степени (в том числе с коэффициентом 0 перед $x^2$).
${n=\frac {p!}{(p-2)!}$ - количество многочленов первой степени.
т.к. каждый приводимый полином второй степени есть произведение двух полиномов первой степени (не обязательно различных), то число таких полиномов будет равно
$\frac {n!}{2!(n-2)!}= \frac {n!}{2(n-2)!}=\frac {p!}{2(p-2)!(\frac{p!}{(p-2)!}-2)!}$.
Тогда число неприводимых полиномов второй степени будет равно:
$\frac {p!}{(p-3)!}-\frac {p!}{(p-2)!}-\frac {p!}{2(p-2)!(\frac{p!}{(p-2)!}-2)!}$.
так можно??

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 17:33 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
flame19 в сообщении #403403 писал(а):
ааа... спасибо

-- Вс янв 23, 2011 15:03:03 --

Тогда пусть так:
$\frac {p-!}{(p-3)!}$ - количество всех многочленов 2 степени (в том числе с коэффициентом 0 перед $x^2$).
${n=\frac {p!}{(p-2)!}$ - количество многочленов первой степени.
т.к. каждый приводимый полином второй степени есть произведение двух полиномов первой степени (не обязательно различных), то число таких полиномов будет равно
$\frac {n!}{2!(n-2)!}= \frac {n!}{2(n-2)!}=\frac {p!}{2(p-2)!(\frac{p!}{(p-2)!}-2)!}$.
Тогда число неприводимых полиномов второй степени будет равно:
$\frac {p!}{(p-3)!}-\frac {p!}{(p-2)!}-\frac {p!}{2(p-2)!(\frac{p!}{(p-2)!}-2)!}$.
так можно??
Так нельзя!
У Вас ошибки в каждой строчке.
Количество полиномов первой степени равно $p$.
Количество всех полиномов второй степени равно $p^2$.
Поясняю: старший коэффициент берем равным единице. Коэффициент при $x$ можно выбрать $p$ способами. Свободный член - тоже.
И т.д.
А откуда берутся Ваши факториалы (особенно $p-!$), я не понимаю.

PS: Я считаю полиномы с точностью до ассоциированности, но именно так их и принято считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 22:39 


02/01/11
69
понятно, спасибо) просто я пользовалась (может быть не верно) формулами комбинаторики... многочлен второй степени это
$ax^2+bx+c$, где $a, b, c \in \{0, 1, ..., p-1\}$. поэтому и считала возможные размещения коэффициентов по 3 из p...
а $p-!$ это опечатка, извиняюсь... должно быть просто $p!$

сейчас попробовала посчитать, т.к. вы сказали...
многочлены первой степени: старший коэффициент равен 1, свободный член - p вариантов.
старший коэффициент равен 2, свободный член - p вариантов.
и т.д.......
старший коэффициент равен p, свободный член - p вариантов.
значит многочленов первой степени будет $p^2 вариантов$.
а значит многочленов второй степени будет $p^3$.
или я опять неправильно понимаю....
и прошу прощенья, наверное я уже порядком надоела своей непонятливостью...

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 23:09 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Если мы работаем с неприводимостью, то многочлены $ax+b$ и $2ax+2b$ удобно считать одним и тем же многочленом.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение24.01.2011, 01:26 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
flame19 в сообщении #403577 писал(а):
понятно, спасибо) просто я пользовалась (может быть не верно) формулами комбинаторики...
Вы не поверите! Я тоже :D
Цитата:
многочлен второй степени это
$ax^2+bx+c$, где $a, b, c \in \{0, 1, ..., p-1\}$. поэтому и считала возможные размещения коэффициентов по 3 из p...
Как-то слишком сложно...
Цитата:
сейчас попробовала посчитать, т.к. вы сказали...
многочлены первой степени: старший коэффициент равен 1, свободный член - p вариантов.
старший коэффициент равен 2, свободный член - p вариантов.
и т.д.......
старший коэффициент равен p, свободный член - p вариантов.
значит многочленов первой степени будет $p^2 вариантов$.
Во-первых, если старший коэффициент равен 0, то многочлен утратит свойство быть многочленом данной степени. А во-вторых, я Вам уже много раз пытаюсь объяснить, что многочлены принято считать с точностью до ассоциированности, т.е. с точностью до умножения на ненулевую константу. Теперь уже и не только я пытаюсь. Если же для Вас все же (по загадочным причинам) важно равенство, а не ассоциированность, ответ можно просто умножить на $p-1$ (но не на $p$).
Цитата:
а значит многочленов второй степени будет $p^3$.
или я опять неправильно понимаю....
и прошу прощенья, наверное я уже порядком надоела своей непонятливостью...
А лекции читать не пробовали? Там этот вопрос подробно рассмотрен.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение24.01.2011, 01:38 


02/01/11
69
просто было не очень понятно, что такое ассоциированный многочлен, теперь кажется поняла... многочленов первой степени будет $p(p-1)$, а многочленов второй степени $p^2(p-1)$, или как вы говорили в случае ассоциированности, $p $и $p^2$ соответственно)
что ж, буду разбираться дальше) спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение24.01.2011, 01:41 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Элементы кольца $a,\,b \in K$ называются ассоциированными, если есть такой обратимый элемент $\varepsilon \in K$, что $a = \varepsilon b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение24.01.2011, 01:42 


02/01/11
69
Joker_vD в сообщении #403625 писал(а):
Элементы кольца $a,\,b \in K$ называются ассоциированными, если есть такой обратимый элемент $\varepsilon \in K$, что $a = \varepsilon b$.


спасибо) теперь буду знать)

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение25.01.2011, 16:38 
Заслуженный участник


14/01/07
787
flame19 в сообщении #403273 писал(а):
neo66 в сообщении #403271 писал(а):
Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.


т.е. так:
т.к. в поле $ F_p$ элементы будут такими {0, 1, 2, ... , p-1}, то всего возможных вариантов многочленов второго типа будет размещение из p по 3, т.е. $\frac {p!}{(p-3)!}$. Верно?
Далее, всякий многочлен первой степени неприводим, т.е. уже $\frac {p!}{(p-2)!}$ многочлена будут простыми, так?
а как найти остальные??? или как посчитать приводимые многочлены??

Я рассуждал так: многочлен второй степени имеет вид $ax^2 +bx +c$, где $a\neq 0$. Значит всего таких многочленов $(p-1)p^2$.
Приводимый многочлен второй степени имеет вид $a(x-b)(x-c)$, где, опять $a\neq 0$. Значит приводимых многочленов второй степени $\frac {(p-1)p(p+1)}{2}$. Значит неприводимых многочленов второй степени $\frac {(p-1)^2p}{2}$ штук. Вроде бы так.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение25.01.2011, 19:39 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Тут всё зависит от того, равно $p$ двойке или нет.

Каждый многочлен второй степени приводится к виду $(x-a)^2 + b$ выделением полного квадрата. Теперь если $p = 2$, то многочлен $(x-a)^2+b$ является полным квадратом, поскольку $x \mapsto x^2$ --- автоморфизм любого поля характеристики $2$. Если же $p$ нечётное, то всё зависит от того, является $b$ квадратичным вычетом или нет. Квадратичных же вычетов в $\mathbb{Z}_p$ при нечётном $p$ ровно $(p+1)/2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group