2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 кольцо многочленов над полем: сколько простых второй степени
Сообщение22.01.2011, 18:15 
помогите, пожалуйста, решить такое задание:
$p$ - простое число. $ F_p $ - поле по модулю $p.$ $F_p[x]$ - кольцо многочленов с коэффициентами из $F_p$. Сколько многочленов второй степени из этого кольца - простые??

Задание было бы понятным если бы было дано для конкретного поля, например $F_5$. а так даже не понятно с чего и начать... ведь не зря сказано что p - простое число?? для чего-то это необходимо???
общий вид многочленов второй степени будет $ ax^2+bx+c, a,b,c\in F_p $. т.е. вся суть сводится к нахождению коэффициентов??

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение22.01.2011, 18:43 
Что такое "простой многочлен"?

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение22.01.2011, 20:41 
Наверное, имелись в виду неприводимые многочлены. Или многочлены, чьи главные идеалы просты, что в принципе то же самое.

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение22.01.2011, 21:04 
в задании это не указано, но думаю да, это неприводимый многочлен...

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 00:07 
Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 00:22 
neo66 в сообщении #403271 писал(а):
Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.


т.е. так:
т.к. в поле $ F_p$ элементы будут такими {0, 1, 2, ... , p-1}, то всего возможных вариантов многочленов второго типа будет размещение из p по 3, т.е. $\frac {p!}{(p-3)!}$. Верно?
Далее, всякий многочлен первой степени неприводим, т.е. уже $\frac {p!}{(p-2)!}$ многочлена будут простыми, так?
а как найти остальные??? или как посчитать приводимые многочлены??

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 00:38 
flame19 в сообщении #403273 писал(а):
neo66 в сообщении #403271 писал(а):
Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.


т.е. так:
т.к. в поле $ F_p$ элементы будут такими {0, 1, 2, ... , p-1}, то всего возможных вариантов многочленов второго типа будет размещение из p по 3, т.е. $\frac {p!}{(p-3)!}$. Верно?
Далее, всякий многочлен первой степени неприводим, т.е. уже $\frac {p!}{(p-2)!}$ многочлена будут простыми, так?
а как найти остальные??? или как посчитать приводимые многочлены??


Есть точная формула (через функцию Мебиуса) количества неприводимых многочленов над конечным полем. Хотя, для второй степени можно получить результат и подобными рассуждениями.

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 01:19 
Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени. Но корни многочленов первой степени лежат в $\mathbb{F}_p$. Значит, $p^2-p$ элементов являются корнями неприводимых многочленов второй степени. Поскольку у каждого из них по 2 корня получаем $\frac{p(p-1)}2$ неприводимых многочленов второй степени.

Разумеется (как это и принято) ассоциированные многочлены считаются за один. Если же все-таки считать их разными, предыдущий результат надо домножить на $p-1$.

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 11:28 
Цитата:
Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени.

всё-таки не понятно почему элементов будет $p^2$....

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 11:44 
flame19 в сообщении #403340 писал(а):
Цитата:
Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени.

всё-таки не понятно почему элементов будет $p^2$....

Не понял вопроса.
Непонятно, почему в поле из $p^2$ будет $p^2$ элементов?!

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 12:08 
вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 12:35 
flame19 в сообщении #403356 писал(а):
вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??
Почитайте книжку Лидл, Нидеррайтер "Конечные поля"или мои лекции во по этой ссылочке (лучше скачать полный экземпляр лекций по второй ссылке) . Там все подробно написано. С доказательствами и даже с примерами.

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 12:37 
спасибо большое!!))

-- Вс янв 23, 2011 13:13:28 --

почитала Ваши лекции...
в каждом конечном поле число элементов есть натуральная степень некоторого простого числа $p$. у нас дано конечное поле $F_p$. его подполем будет как раз множество многочленов второй степени. т.е. если рассматривать это как векторное пространство над этим подполем, то 2 - это размерность этого пространства, тогда всего элементов подполя (т.е. множества многочленов второй степени) будет $p^2$.
я всё верно поняла???

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 13:15 
flame19 в сообщении #403356 писал(а):
вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??
Ссылочку дал. А здесь отвечу в двух словах (без доказательств).
Здесь логика противоположная. Сначала берем поле из $p^2$ элементов и (о чудо!) они в точности оказываются корнями всех неприводимых над $\mathbb{F}_p$ полиномов 1-й и 2-й степеней.

Впрочем, наверное, можно идти и тем путем, что начинали Вы - с перебора коэффициентов. Если все аккуратно сделать ответ должен получиться тот же.

 
 
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 13:34 
насчёт перебора коэффициентов непонятно, как посчитать число приводимых многочленов...
и всё же вот это:
Цитата:
в каждом конечном поле число элементов есть натуральная степень некоторого простого числа $p$. у нас дано конечное поле $F_p$. его подполем будет как раз множество многочленов второй степени. т.е. если рассматривать это как векторное пространство над этим подполем, то 2 - это размерность этого пространства, тогда всего элементов подполя (т.е. множества многочленов второй степени) будет $p^2$.

верно или нет?? потому что суть вроде бы ясна, хотя смущает, что подполе содержит больше элементов чем само поле.....

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group