кольцо многочленов над полем: сколько простых второй степени

[flame19]

помогите, пожалуйста, решить такое задание:
$p$ - простое число. $ F_p $ - поле по модулю $p.$ $F_p[x]$ - кольцо многочленов с коэффициентами из $F_p$. Сколько многочленов второй степени из этого кольца - простые??

Задание было бы понятным если бы было дано для конкретного поля, например $F_5$. а так даже не понятно с чего и начать... ведь не зря сказано что p - простое число?? для чего-то это необходимо???
общий вид многочленов второй степени будет $ ax^2+bx+c, a,b,c\in F_p $. т.е. вся суть сводится к нахождению коэффициентов??

[Imperator]

Что такое "простой многочлен"?

[Joker_vD]

Наверное, имелись в виду неприводимые многочлены. Или многочлены, чьи главные идеалы просты, что в принципе то же самое.

[flame19]

в задании это не указано, но думаю да, это неприводимый многочлен...

[neo66]

Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.

[flame19]

neo66 в сообщении #403271 писал(а):

Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.

т.е. так:
т.к. в поле $ F_p$ элементы будут такими {0, 1, 2, ... , p-1}, то всего возможных вариантов многочленов второго типа будет размещение из p по 3, т.е. $\frac {p!}{(p-3)!}$. Верно?
Далее, всякий многочлен первой степени неприводим, т.е. уже $\frac {p!}{(p-2)!}$ многочлена будут простыми, так?
а как найти остальные??? или как посчитать приводимые многочлены??

[Leox]

flame19 в сообщении #403273 писал(а):

neo66 в сообщении #403271 писал(а):

Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.

т.е. так:
т.к. в поле $ F_p$ элементы будут такими {0, 1, 2, ... , p-1}, то всего возможных вариантов многочленов второго типа будет размещение из p по 3, т.е. $\frac {p!}{(p-3)!}$. Верно?
Далее, всякий многочлен первой степени неприводим, т.е. уже $\frac {p!}{(p-2)!}$ многочлена будут простыми, так?
а как найти остальные??? или как посчитать приводимые многочлены??

Есть точная формула (через функцию Мебиуса) количества неприводимых многочленов над конечным полем. Хотя, для второй степени можно получить результат и подобными рассуждениями.

[VAL]

Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени. Но корни многочленов первой степени лежат в $\mathbb{F}_p$. Значит, $p^2-p$ элементов являются корнями неприводимых многочленов второй степени. Поскольку у каждого из них по 2 корня получаем $\frac{p(p-1)}2$ неприводимых многочленов второй степени.

Разумеется (как это и принято) ассоциированные многочлены считаются за один. Если же все-таки считать их разными, предыдущий результат надо домножить на $p-1$.

[flame19]

Цитата:

Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени.

всё-таки не понятно почему элементов будет $p^2$....

[VAL]

flame19 в сообщении #403340 писал(а):

Цитата:

Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени.

всё-таки не понятно почему элементов будет $p^2$....

Не понял вопроса.
Непонятно, почему в поле из $p^2$ будет $p^2$ элементов?!

[flame19]

вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??

[VAL]

flame19 в сообщении #403356 писал(а):

вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??

Почитайте книжку Лидл, Нидеррайтер "Конечные поля"или мои лекции во по этой ссылочке (лучше скачать полный экземпляр лекций по второй ссылке) . Там все подробно написано. С доказательствами и даже с примерами.

[flame19]

спасибо большое!!))

-- Вс янв 23, 2011 13:13:28 --

почитала Ваши лекции...
в каждом конечном поле число элементов есть натуральная степень некоторого простого числа $p$. у нас дано конечное поле $F_p$. его подполем будет как раз множество многочленов второй степени. т.е. если рассматривать это как векторное пространство над этим подполем, то 2 - это размерность этого пространства, тогда всего элементов подполя (т.е. множества многочленов второй степени) будет $p^2$.
я всё верно поняла???

[VAL]

flame19 в сообщении #403356 писал(а):

вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??

Ссылочку дал. А здесь отвечу в двух словах (без доказательств).
Здесь логика противоположная. Сначала берем поле из $p^2$ элементов и (о чудо!) они в точности оказываются корнями всех неприводимых над $\mathbb{F}_p$ полиномов 1-й и 2-й степеней.

Впрочем, наверное, можно идти и тем путем, что начинали Вы - с перебора коэффициентов. Если все аккуратно сделать ответ должен получиться тот же.

[flame19]

насчёт перебора коэффициентов непонятно, как посчитать число приводимых многочленов...
и всё же вот это:

Цитата:

в каждом конечном поле число элементов есть натуральная степень некоторого простого числа $p$. у нас дано конечное поле $F_p$. его подполем будет как раз множество многочленов второй степени. т.е. если рассматривать это как векторное пространство над этим подполем, то 2 - это размерность этого пространства, тогда всего элементов подполя (т.е. множества многочленов второй степени) будет $p^2$.

верно или нет?? потому что суть вроде бы ясна, хотя смущает, что подполе содержит больше элементов чем само поле.....