Что такое дифференциал?

[ewert]

О, только сейчас обратил внимание, пардон.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

Посмотрел я Сивухина (1 том 1 главу), и оказалось, что он излагает картину намного более внятную, чем у вас:

Цитата:

Чем меньше $\Delta t,$ тем больше погрешность, с которой мы вычисляем отношение $\frac{\Delta x}{\Delta t}.$
...
Оптимальное значение времени $\Delta t,$ при котором точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями. Малые, но конечные приращения $\Delta x$ и $\Delta t,$ отношение которых с достаточной точностью аппроксимирует производную $\dot{x},$ физик называет бесконечно малым или, полнее, физически бесконечно малыми величинами.

Отсюда видно, что "бесконечно малой величиной" (по Сивухину) называется не "предельно малая длина, которую, ещё кое-как можно прочувствовать", а как раз наоборот, достаточно большая длина, чтобы не возникало ухудшения точности из-за её уменьшения.

Абсолютно невнятная формулировка. Слова "достаточная точность" без упоминания, для чего конкретно "достаточно" -- бессмысленны абсолютно. Может быть "достаточно" в пределах требуемой точности, в пределах точности измерений, в пределах погрешности округления, в пределах модели. И всё это -- совершенно разные "достаточно". Без конкретизации же эти слова -- абсолютно бессмысленны с какой угодно точки зрения: математической, физической, филологической, агрономической и т.д., какой угодно.

[Munin]

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Думаете, Ваше прочтение учебника другим покажется не таким же бессвязным?

Зависит от того, кому покажется.
Update: Упс, вот ewert-у показалось...

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Цитата верная: "Оптимальное значение времени $\Delta t,$ при котором точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями." -- тем, что именно движется, определяется предельная точность измерения времени.

Но не предельная точность измерения скорости.



Вот как выглядят типичные реальные измерения. Здесь по вертикали, скажем, положение, по горизонтали время, измерения представляют собой попытки измерить движение объекта (отсчёты), полоски отображают диапазоны погрешностей. Понятно, что отсчёты по времени можно располагать весьма часто - пока диапазоны погрешностей по времени не начнут перекрываться. Но это не соответствует максимальной точности измерения скорости. Максимальная точность измерения скорости получается тогда, когда по времени берутся моменты достаточно отдалённые (и происходит усреднение по нескольким отсчётам, хотя это и не обязательно). Разумеется, на протяжении этого промежутка времени скорость объекта не должна изменяться, но это "не должна" выражается тоже в виде погрешности скорости, которая привносится таким изменением. И пока этот проигрыш в погрешности скорости не превосходит выигрыша в погрешности скорости от того, что промежуток времени увеличен, его следует продолжать увеличивать. Именно в этом смысле будет достигнут оптимум для $\Delta t$ по погрешности скорости - и всегда он будет намного больше, чем минимальное достижимое $\Delta t.$ Кстати, для погрешности ускорения этот оптимум будет другой, и т. д.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Проводить измерения времени с большей точностью для данной системы бессмысленно -- время с большей точностью для неё не существует как физвеличина.

Меняем дефиницию - и время с большей точностью снова существует.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Ну, я не знаю, возьмите поверхностное натяжение, что ли.Жидкость ж испаряется -- с любой точностью никак не измеришь, какой точный датчик не возьми.

А чем испарение жидкости мешает определить поверхностное натяжение? Вообще-то это один из способов его определить, по теплоте парообразования.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Ясно.Не могу эту тему продолжить, так как она к дифференциалам не имеет отношения, да и лень.

Вполне имеет. Но как хотите.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Вот Логунов говорил, что таки наблюдаемо, но я не интересовался его обоснованиями этого...

Логунова я обсуждать не хочу. Просто имейте в виду, что в ОТО не наблюдаемо.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Я выше привёл контрпример: вот в психологии какой-нибудь матмоделей пока нет совсем -- что ж теперь она лишь описательная дисциплина что ли? (как натуралистика по сравнению с биологией, в которой, кстати, тоже с матмоделями туговато).

Тут всё просто. Матмодели могут быть и там, где вы их не видите. Любое связное логическое рассуждение, в рамках данной дисциплины считающееся доказательным, есть матмодель, или часть её. Потому что логика - это математика, алгебра логики ничуть не хуже анализа функций действительной переменной. Разница только в том, что в физике эти модели и сами по себе мощнее и обширнее, и используются на гораздо более полную катушку, и их выводы принимаются гораздо более серьёзно и менее недоверчиво. В других дисциплинах дойти до такого уровня мешает неразработанность этих моделей, особенно в части области применимости и возможности экстраполяций.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Физику лишь интересует в основном не способ описания, а то, что описывается.

Вот только для многих вещей, которые интересуют физику, эти две вещи сливаются до неразличимости. Элементарный пример: квазичастицы в твёрдом теле. С одной стороны, всего лишь математический способ рассмотрения сложной системы, анзац, а с другой - вполне себе физические объекты, которые можно мерять, "видеть" осциллографом, и т. п.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

В самых общих словах тут вот какая проблема: сознание отражает реальность, но оно само есть кусок реальности и может отражать и само себя; тогда возникает проблема уметь отличать те образы сознания, которые отражают реальность от тех, что отражают лишь способ описания той реальности -- эх, и велика проблема эта, между прочим...

Пока её формулировать в самых общих словах - велика проблема. Когда доходит до дела, не велика. В физике стремятся построить такие матмодели, которые обладали бы предсказательной силой. Если предсказания оправдываются, значит, был ухвачен кусочек реальности. Если нет, значит, нет.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Физики раздражают математиков тем, что рассуждают очень не строго и используют понятия, которые сами редко умеют даже сформулировать, куда уж там определить.Я то хотел сказать, что физики иначе не могут делать по простой причине.

Это всё очевидно. И очевидно неверно :-) : физики просто дают определения другого рода, чем умеют понимать математики. Это две разные строгости двух разных дисциплин, ни одна (строгость) из которых не содержится в другой.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

До тех пор, пока мы не навострились, объекта познания не существовало, но кусок реальности -- был.Некоторые понятия относятся только к куску реальности, а некоторые -- только к объекту познания.

К куску реальности понятий отнести нельзя :-) Как только вы накладываете на него понятие, он вылепливается в объект познания - ну, или не познания - но в любом случае, уже нечто несущее отпечаток вас, а не реальности.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Конечно, мы можем выбрать объект как хотим, но, раз выбрав его, уже весь произвол сразу теряем.

Это популярный миф, тоже неверный. Как раз как хотим - не можем выбрать. Реальность сопротивляется. Удаются только некоторые выборы, которые хоть как-то эту реальность учитывают и ей соответствуют. И понятное дело, выбор можно улучшать, в сторону того, которому реальность сопротивляется ещё меньше.

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Ой, да нет же.Ну, уменьшайте мысленно размер системы, повышая точность измерения длины: на атомном уровне все классические дифуры улетучатся как дым.

Классические дифуры улетучатся, новые появятся. Уравнение Шрёдингера - это вполне себе дифур, в котором время и координата - точно такие же $\mathbb{R},$ как и раньше!!!

А некоммутативная геометрия - пока ещё ни одним экспериментом не подтверждена...

-- 15.12.2010 23:46:31 --

ewert
Совершенно не к тому цепляетесь. Это вы начинаете рассуждать от слова "достаточно", а физики на нём заканчивают. Всё важное уже было произнесено раньше.

[zbl]

Тему-то не исчерпали, между прочим.
Хотя бы голосованием нужно решить хотя бы вопрос, будем отказываться от понятия дифференциала или нет?
Для преподов этот вопрос имеет большее значение, чем для научных работников.

А я ещё указал на хитрость определения дифференциала: $df=f'dx$ -- оно сделано так, что для $f(x)=x$ тоже работает, но в $df=f'dx$ то, что обозначено $dx$ совсем не то же самое, что $df$ с $f(x)=x$.
С этим местом связан вопрос о втором дифференциале.
Если дифференциал отображения определять как отображение касательных пространств, то $dx$ будет тем же самым, что $df$ с $f(x)=x$, так как координату $x$ можно считать скалярной функцией на многообразии.
Таким образом, дифференциал как отображение касательных пространств и дифференциал функции как зависимой величины, получается, -- разные понятия.
Перейдя от чисел и величин к множествам и отображениям, мы не просто слова заменили, а подменили одно понятие дифференциала другим, назвав новое понятие тем же именем.

ewert в сообщении #387903 писал(а):

Абсолютно невнятная формулировка. Слова "достаточная точность" без упоминания, для чего конкретно "достаточно" -- бессмысленны абсолютно.

Это так и есть, но лишь в мечтах, а реальность совсем иная.
Вот в учебниках по молекулярной физике можно при уравнениях состояния газов, уравнении переноса Больцмана и в других местах прочитать, что все рассуждения проводятся в предположении, что газ достаточно разреженный.
Что вообще такое эта разреженность газа? по сравнению с чем разреженный?
Взрослый физик сможет, почесав репу, кое-как ответить на эти вопросы, но учебник написан для студентов, а для них это достаточно разреженный вот уж точно "бессмысленно абсолютно".
Так, что Вы в общем-то правы.
Физики имеют такую привычку опускать несущественные для них детали.
В данном случае несущественной деталью они считают "для чего конкретно 'достаточно'".
Те, кто не считают эту деталь несущественной, справедливо страдают от этого.

-- 13 янв 2011 20:17 --

Munin в сообщении #387914 писал(а):

Но не предельная точность измерения скорости.

И она тоже ограничена (много меньше точности прибора для измерения скорости).

Munin в сообщении #387914 писал(а):

Максимальная точность измерения скорости получается тогда, когда по времени берутся моменты достаточно отдалённые<...>

Совершенно верно, и картинка хорошая.
Погрешность измерения расстояния и погрешность измерения времени связаны так, что невозможно сделать их одновременно сколь угодно малыми.
Чем они связаны? -- тем, к какой именно физсистеме эти величины относятся: что именно и как движется; если будет двигаться что-то иное или как-то не так, то и связь будет другой.
Пока мы рассматриваем именно эту физсистему, мы не сможем измерить время с точностью прибора (которая обычно на два порядка лучше), а будет у нас некая предельная точность измерения времени.
Со скоростью и с любой другой физвеличиной будет то же самое: физсистема собой завязывает разные свои физвеличины так, что, пока мы рассматриваем именно эту физсистему, мы ни одну физвеличину не измерим с приборной точностью, а только на два порядка хуже.
Вот эту предельную точность и зовут физически бесконечно малой.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

Меняем дефиницию - и время с большей точностью снова существует.

Это нельзя опровергнуть в принципе: это уже уровень философии, а не физики.
Философию солипсизма, например, нельзя опровергнуть.
Конечно, если временем считать не время, а что-то такое, что согласуется с нашей философией, то всегда можно подобрать такую дифиницию в такой философии, что бедет в точности то, что мы хотим, чтобы было.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

А чем испарение жидкости мешает определить поверхностное натяжение? Вообще-то это один из способов его определить, по теплоте парообразования.

Та же самая зависимость появляется, что между расстоянием и длиной через скорость.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Ясно.Не могу эту тему продолжить, так как она к дифференциалам не имеет отношения, да и лень.

Вполне имеет. Но как хотите.

Нарушение общефилософского принципа о том, что свойства познаются лишь в отношениях?
Слишком глобально, чтобы пихать в ветку про дифференциал.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

Просто имейте в виду, что в ОТО не наблюдаемо.

Согласно ОТО оно не существует.
Это может быть подобно тому, как в теории упругости тела считаются непрерывными, а молекул не существует.
Но может быть и другой совсем областью, как химические реакции к классической механике.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

Любое связное логическое рассуждение, в рамках данной дисциплины считающееся доказательным, есть матмодель, или часть её.

Разумеется, можно все модели называть математическими.
Разные слова для разных вещей используют только те, для кого разница существенна.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

В физике стремятся построить такие матмодели, которые обладали бы предсказательной силой. Если предсказания оправдываются, значит, был ухвачен кусочек реальности. Если нет, значит, нет.

Так только чистый позитивизм получится.
Одного совпадения с результатами эксперимента не достаточно.
Через любые экспериментальные данные можно провести полином дикой степени; через всю совокупность всех данных тоже можно.
Ясно, что это плохая теория, потому что уже следующие данные она скорее всего не опишет.
У настоящей теории коэффициентов в полиномах гораздо меньше, но она куда лучше предсказывает.
Если добавить требование предсказания будущих экспериментов, то всё равно не достаточно: это в основном сведётся к предыдущему.
Соответствие или не-соответствие образа сознания (теории, модели) реальности -- это проблема великая.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

К куску реальности понятий отнести нельзя.

Тогда сознание не отражает реальность.
Отражение понимается в смысле соответствия образов сознания реальности.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

zbl в сообщении #387883 писал(а):

Конечно, мы можем выбрать объект как хотим, но, раз выбрав его, уже весь произвол сразу теряем.

Это популярный миф, тоже неверный. Как раз как хотим - не можем выбрать. Реальность сопротивляется.

Я имел в виду, что выбрать что именно мы будем считать объектом познания, мы вольны.
Реальность начнёт сопротивляться, когда объект познания будет выбран.
А возможность найти в реальности буквально всё, что только взбредёт на ум -- это принцип неисчерпаемости.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

Классические дифуры улетучатся, новые появятся.

Сначала мы пройдём через мезофизику, а там будут стохастические дифуры.

Munin в сообщении #387914 писал(а):

А некоммутативная геометрия - пока ещё ни одним экспериментом не подтверждена...

Повращайте глобус вокруг двух непараллельных осей.

[Ales]

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Хотя бы голосованием нужно решить хотя бы вопрос, будем отказываться от понятия дифференциала или нет?

Если голосовать, то я за дифференциал. Дифференциалы - единственный адекватный аппарат анализа.
Производная - всего лишь коэффициент при дифференциале.
Не стоит вообще фиксировать внимание на производной.

[Munin]

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Хотя бы голосованием нужно решить хотя бы вопрос, будем отказываться от понятия дифференциала или нет?Для преподов этот вопрос имеет большее значение, чем для научных работников.

Если смотреть на точку зрения "для преподов", то дилемма возникает, когда взамен существующей, отработанной программы курса, имеется в наличии готовая целостная альтернативная, в которой понятия дифференциала нет, но всё что нужно на выходе, есть, и внутренняя логика курса не нарушена. Пока такой альтернативы не имеется, нельзя предлагать отказываться от существующего курса, а можно только призывать попробовать такую альтернативу построить.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Что вообще такое эта разреженность газа? по сравнению с чем разреженный?Взрослый физик сможет, почесав репу, кое-как ответить на эти вопросы, но учебник написан для студентов, а для них это достаточно разреженный вот уж точно "бессмысленно абсолютно".

Здесь проблема в том, что определить, что такое "достаточно разреженный" можно только после того, как изучишь эту теорию достаточно разреженного газа, и кроме того, изучишь следующую, более сложную теорию неидеального газа. Так что без ссылки вперёд не обойтись, или надо произнести что-то нестрогое качественное на пальцах.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Погрешность измерения расстояния и погрешность измерения времени связаны так, что невозможно сделать их одновременно сколь угодно малыми.Чем они связаны? -- тем, к какой именно физсистеме эти величины относятся: что именно и как движется; если будет двигаться что-то иное или как-то не так, то и связь будет другой.Пока мы рассматриваем именно эту физсистему, мы не сможем измерить время с точностью прибора (которая обычно на два порядка лучше), а будет у нас некая предельная точность измерения времени.Со скоростью и с любой другой физвеличиной будет то же самое: физсистема собой завязывает разные свои физвеличины так, что, пока мы рассматриваем именно эту физсистему, мы ни одну физвеличину не измерим с приборной точностью, а только на два порядка хуже.Вот эту предельную точность и зовут физически бесконечно малой.

Вы про принцип дополнительности не читали? Мы можем довести точность измерения времени до точности прибора, пожертвовав точностью расстояния. Точно так же и с любой другой физвеличиной: для неё есть дополнительная. Поэтому для отдельно взятой физвеличины никакой предельной точности нет.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Согласно ОТО оно не существует.

Ещё раз: не не существует, а ненаблюдаемо.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Так только чистый позитивизм получится.

Отнюдь нет. Я уже говорил, в чём разница.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Одного совпадения с результатами эксперимента не достаточно.

Достаточно.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Через любые экспериментальные данные можно провести полином дикой степени; через всю совокупность всех данных тоже можно.

Можно. Но при появлении новых данных полином придётся менять. А феноменологическую модель - нет.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Соответствие или не-соответствие образа сознания (теории, модели) реальности -- это проблема великая.

Это проблема надуманная хвилософами. На самом деле всё намного проще, чем они разглагольствуют.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Тогда сознание не отражает реальность.Отражение понимается в смысле соответствия образов сознания реальности.

Просто у вас неправильно понимается отражение. Такого отражения - да, не бывает. Бывает некоторое сопоставление реальности и образов сознания, в наиболее развитом случае - прописанное как процедура. Оно даёт ответ: "да" или "нет". Например, эксперимент.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Я имел в виду, что выбрать что именно мы будем считать объектом познания, мы вольны.Реальность начнёт сопротивляться, когда объект познания будет выбран.А возможность найти в реальности буквально всё, что только взбредёт на ум -- это принцип неисчерпаемости.

Это высосанный из пальца хвилософами принцип. Найти всё можно только в той "реальности", которая возникает под воздействием галлюциногенов. Реальность сопротивляется уже в момент выбора, а не потом.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Сначала мы пройдём через мезофизику, а там будут стохастические дифуры.

Да без разницы какие, всё равно дифуры. На атомном уровне они ещё более сложные, чем стохастические, но я этого не упоминаю.

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Повращайте глобус вокруг двух непараллельных осей.

Вы не поняли о чём я. Проехали.

[zbl]

Munin в сообщении #399740 писал(а):

Если смотреть на точку зрения "для преподов", то дилемма возникает, когда взамен существующей, отработанной программы курса, имеется в наличии готовая целостная альтернативная, в которой понятия дифференциала нет, но всё что нужно на выходе, есть, и внутренняя логика курса не нарушена. Пока такой альтернативы не имеется, нельзя предлагать отказываться от существующего курса, а можно только призывать попробовать такую альтернативу построить.

Вот это, думается мне, и есть зерно истины: научные работники делают, как хотят, в соответствии с принципом Чингачгука, но преподы руководствуются известной только им целесообразностью.
Преподам может потребоваться излагать устаревшее понятие по соображениям абсолютно бессмысленным для научных работников.

Munin в сообщении #399740 писал(а):

Вы про принцип дополнительности не читали? Мы можем довести точность измерения времени до точности прибора, пожертвовав точностью расстояния.

Мы с Сивухиным пытались донести до Вас мысль, что таки не сможем.
Всегда можно измерить длину с точностью эталона длины.
Но это лишь означает, что существуют такие тела, для которых длина имеет смысл с такой точностью.
Для карандаша длины с такой точностью не существует.
Хоть дифференциал длины карандаша равен нулю, речь идёт о тех малых отрезочках, на которые его можно разбить, и которые мы будем складывать, интегрируя вдоль карандаша.

Munin в сообщении #399740 писал(а):

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Согласно ОТО оно не существует.

Ещё раз: не не существует, а ненаблюдаемо.

То что ненаблюдаемо, не существует с точки зрения физики.

Munin в сообщении #399740 писал(а):

zbl в сообщении #399435 писал(а):

Соответствие или не-соответствие образа сознания (теории, модели) реальности -- это проблема великая.

Это проблема надуманная хвилософами. На самом деле всё намного проще, чем они разглагольствуют.

Это понятно, но Вы, так разглагольствуя, лишь вводите свою новую философию.
Проще воспользоваться наработками профессионалов, которые весь рабдень только то и делают, что думают над решением философских проблем; за ними не угнаться чисто физически.

[Munin]

zbl в сообщении #400036 писал(а):

Мы с Сивухиным

:-)

zbl в сообщении #400036 писал(а):

Всегда можно измерить длину с точностью эталона длины.Но это лишь означает, что существуют такие тела, для которых длина имеет смысл с такой точностью.Для карандаша длины с такой точностью не существует.

Доказывайте.

zbl в сообщении #400036 писал(а):

Хоть дифференциал длины карандаша равен нулю, речь идёт о тех малых отрезочках, на которые его можно разбить, и которые мы будем складывать, интегрируя вдоль карандаша.

Существуют другие способы измерить длину, кроме как разбить её на малые отрезочки. И эти способы позволяют доводить точность до точности прибора и эталона.

zbl в сообщении #400036 писал(а):

То что ненаблюдаемо, не существует с точки зрения физики.

С точки зрения экспериментальной физики, максимум. В теорфизике о таких вещах говорят как об абсолютно необходимых уже более ста лет.

zbl в сообщении #400036 писал(а):

Это понятно, но Вы, так разглагольствуя, лишь вводите свою новую философию.Проще воспользоваться наработками профессионалов, которые весь рабдень только то и делают, что думают над решением философских проблем; за ними не угнаться чисто физически.

Те, кто весь рабдень думают над решением философских проблем - не профессионалы. Профессионалы - те, кто кто весь рабдень пашут над решением физических проблем. Они очень хорошо разбираются в моделях и их соответствии реальности. Вот их наработками я пользуюсь и буду пользоваться.

[ewert]

о хоссподи, да какое отношение дифференциал как пхилосопхская категория имеет к физике-то. Для физики это -- просто бесконечно малое приращение, и всё тут. Бесконечно малое -- в пределах применимости модели. Скажем, применительно к газам -- в той области, в которой статистические флуктуации много меньше усреднённых величин по участкам, размеры которых много меньше экспериментально наблюдаемых. И этого достаточно. Достаточно того, что в практических случаях подобное разделение масштабов оказывается осмысленным, как показывает эксперимент. Это уже придаёт понятию "бесконечно малое" вполне конкретный смысл. А когда подобное разделение не удаётся -- вот тогда (и только тогда!) и нужно думать. Причём думать вовсе не над смыслом "бесконечно-малости", а над адекватностью модели.

-- Пт янв 14, 2011 21:15:59 --

о хоссподи, да какое отношение дифференциал как пхилосопхская категория имеет к физике-то. Для физики это -- просто бесконечно малое приращение, и всё тут. Бесконечно малое -- в пределах применимости модели. Скажем, применительно к газам -- в той области, в которой статистические флуктуации много меньше усреднённых величин по участкам, размеры которых много меньше экспериментально наблюдаемых. И этого достаточно. Достаточно того, что в практических случаях подобное разделение масштабов оказывается осмысленным, как показывает эксперимент. Это уже придаёт понятию "бесконечно малое" вполне конкретный смысл. А когда подобное разделение не удаётся -- вот тогда (и только тогда!) и нужно думать. Причём думать вовсе не над смыслом "бесконечно-малости", а над адекватностью модели.

-- Пт янв 14, 2011 21:18:01 --

о хоссподи, да какое отношение дифференциал как пхилосопхская категория имеет к физике-то. Для физики это -- просто бесконечно малое приращение, и всё тут. Бесконечно малое -- в пределах применимости модели. Скажем, применительно к газам -- в той области, в которой статистические флуктуации много меньше усреднённых величин по участкам, размеры которых много меньше экспериментально наблюдаемых. И этого достаточно. Достаточно того, что в практических случаях подобное разделение масштабов оказывается осмысленным, как показывает эксперимент. Это уже придаёт понятию "бесконечно малое" вполне конкретный смысл. А когда подобное разделение не удаётся -- вот тогда (и только тогда!) и нужно думать. Причём думать вовсе не над смыслом "бесконечно-малости", а над адекватностью модели.

-- Пт янв 14, 2011 21:26:59 --

о хоссподи, да какое отношение дифференциал как пхилосопхская категория имеет к физике-то. Для физики это -- просто бесконечно малое приращение, и всё тут. Бесконечно малое -- в пределах применимости модели. Скажем, применительно к газам -- в той области, в которой статистические флуктуации много меньше усреднённых величин по участкам, размеры которых много меньше экспериментально наблюдаемых. И этого достаточно. Достаточно того, что в практических случаях подобное разделение масштабов оказывается осмысленным, как показывает эксперимент. Это уже придаёт понятию "бесконечно малое" вполне конкретный смысл. А когда подобное разделение не удаётся -- вот тогда (и только тогда!) и нужно думать. Причём думать вовсе не над смыслом "бесконечно-малости", а над адекватностью модели.

[zbl]

Munin в сообщении #400049 писал(а):

Доказывайте.

Пытался -- не получилось.
Мои педспособности сильно ограничены.

Munin в сообщении #400049 писал(а):

Существуют другие способы измерить длину, кроме как разбить её на малые отрезочки. И эти способы позволяют доводить точность до точности прибора и эталона.

Ну, я ж говорю, что с точностью эталона измерять можно.
Ну, ограничены педспособности, сильно ограничены.

Munin в сообщении #400049 писал(а):

zbl в сообщении #400036 писал(а):

То что ненаблюдаемо, не существует с точки зрения физики.

С точки зрения экспериментальной физики, максимум. В теорфизике о таких вещах говорят как об абсолютно необходимых уже более ста лет.

Больше ста: абсолютное значение, например, энергии в классической физике тоже не измеримо -- измерима лишь разность энергий.
Существует ли энегрия в Природе с точки зрения физики? -- вопрос существования сам по себе очень сложен; что существует, а что нет -- проблема великая.

-- 14 янв 2011 21:48 --

ewert в сообщении #400055 писал(а):

о хоссподи, да какое отношение дифференциал как пхилосопхская категория имеет к физике-то.

В философии дифференциалов нет; только в физике и математике.

ewert в сообщении #400055 писал(а):

Для физики это -- просто бесконечно малое приращение, и всё тут. Бесконечно малое -- в пределах применимости модели.

Это чуть не точно.
Моделей одного и того же физобъекта с одним и тем же набором физвеличин и физзаконов может быть несколько.
Пока говорим только об одной -- Вы правы.
Если линейкой пользоваться, то отрезок в 0.1 миллиметра будет бесконечно малым при пользовании этой линейкой.
Но нам нужно абстрагироваться от выбранных приборов и моделей: мы изучаем не измерения, а то, что измеряется.
Вот и говорим скорее не о бесконечно малом в конкретной модели, а о наименьшем из бесконечно малых в некотором классе похожих моделей.
Этот класс моделей -- это и есть то, что мы называем словом "карандаш".
Соответственно, тем, что такое карандаш, так и определяется то, что такое бесконечно малый отрезок.

[Munin]

zbl в сообщении #400075 писал(а):

Больше ста: абсолютное значение, например, энергии в классической физике тоже не измеримо -- измерима лишь разность энергий.

Я имел в виду изобретение вектор-потенциала и обнаружение для него калибровочной неоднозначности (точнее, неоднозначность обнаружили в 19 веке, а сформулировали её как калибровочную уже только в 20). Ааронов-Бом демонстрирует на пальцах, что вектор-потенциал существует, безо всяких философий. Снова проблем великих никаких нет.

[ewert]

zbl в сообщении #400075 писал(а):

Вот и говорим скорее не о бесконечно малом в конкретной модели, а о наименьшем из бесконечно малых в некотором классе похожих моделей.

Нет, мы этого не говорим, во всяком случае -- не должны говорить. В рамках либой матмодели бесконечная малость -- это бесконечная малость в математическом смысле, и точка. Физические же пределы дробления -- это ограничения самой модели, но вовсе не используемого в ней математического понятия.

[zbl]

Munin в сообщении #400149 писал(а):

Ааронов-Бом демонстрирует на пальцах, что вектор-потенциал существует, безо всяких философий. Снова проблем великих никаких нет.

А двигатель внутреннего сгорания разве тем же способом не демонстрирует, что энергия существует?
И проблемы, разумеется, интересны только для тех, кто считает их существенными.

-- 18 янв 2011 03:01 --

ewert в сообщении #400297 писал(а):

В рамках либой матмодели бесконечная малость -- это бесконечная малость в математическом смысле, и точка.

Безусловно.
Но физиков интересуют не модели, а то, что ими моделируется.

[Munin]

zbl в сообщении #401352 писал(а):

А двигатель внутреннего сгорания разве тем же способом не демонстрирует, что энергия существует?

В том смысле, в котором вы выше сказали, что "абсолютное значение, например, энергии в классической физике тоже не измеримо -- измерима лишь разность энергий" - не демонстрирует.

[zbl]

Munin в сообщении #401378 писал(а):

В том смысле, в котором вы выше сказали, что "абсолютное значение, например, энергии в классической физике тоже не измеримо -- измерима лишь разность энергий" - не демонстрирует.

А эффект Бома-Ааронова позволяет измерить абсолютную величину потенциала элмагполя?

[Munin]

zbl в сообщении #403260 писал(а):

А эффект Бома-Ааронова позволяет измерить абсолютную величину потенциала элмагполя?

Нет, конечно. А в чём смысл перестановки фамилий?