Нормы матрицы

[Stotch]

Объясните пожалуйста вот есть 3 наиболее распростроненные виды норм матриц
$||A||_1$
$||A||_2$
$||A||_\infty$
А что вообще такое норма матрицы?Вот там аксиомы какие-то выполняются.А как её вообще представить эту норму?Зачем она вообще нужна?И чем отличаются эти 3 нормы выше написанные?
И почему именно такие индексы у них 1,2 и беск?
Объясните кто знает пожалуйста понятным языком и терминами.Заранее благодарен

[Joker_vD]

Stotch в сообщении #400144 писал(а):

А как её вообще представить эту норму?Зачем она вообще нужна?

Норма — это "значимость" матрицы. Нужна она, чтобы мерять, какая матрица "больше", а какая — "меньше".

[Dan B-Yallay]

Есть как минимум 3 разных класса норм для матриц.

$$\begin{align*} &\text{1) векторная(операторная): }& \left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}, \qquad p=1,2,3...\infty\\ &\text{2)

Все они имеют одинаковые обозначения вида $\|A\|_1, \|A\|_2, \|A\|_\infty$. При этом операторная норма скажем$\|A\|_4$ необязательна равна элементной норме $\|A\|_4.$ Но все они каким-то образом отображают "величину" матрицы, каждая в своем смысле. И все они как то нужны в народном хозяйстве.

Что именно интересует?

[Gortaur]

Нормы довольно часто используются чтобы оценить как далеко друг от друга элементы.

[caxap]

В Канатникове--Крищенко "Линейная алгебра" есть приложение про нормы матриц.

[ewert]

Вообще-то слова "норма матрицы" употребляются в двух смыслах.

1). Просто любая числовая функция от матрицы, удовлетворяющая аксиомам нормы: $\|A\|>0\ (\forall A\neq O)$, $\|\alpha A\|=|\alpha|\cdot\|A\|$ и $\|A+B\|\leqslant\|A\|+\|B\|$.

2). (как частный случай) Операторная норма матрицы: $\|A\|\equiv\max\limits_{\vec x\neq\vec0}\,\dfrac{\|A\vec x\|}{\|\vec x\|}$ (где норма вектора может выбираться как угодно, и каждому такому выбору отвечает своя норма матрицы).

И промежуточный вариант -- мультипликативные нормы матриц, которые кроме трёх аксиом удовлетворяют ещё и требованию $\|A\cdot B\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$ (естественно, это имеет смысл только для квадратных матриц, в отличие от всего предыдущего). Любая операторная норма является мультипликативной, обратное неверно. С другой стороны, любая вообще норма может быть сделана мультипликативной, если умножить её на подходящую константу.

Норма вообще матрицы ориентирована, как уже указывалось, на оценку того, насколько матрица мала. Операторная норма -- кроме того, на оценку возможного увеличения/уменьшения вектора после умножения на него матрицы. Как правило, норма матрицы используется для доказательств сходимости, и тогда выбор нормы не имеет принципиального значения, т.к. все нормы всё равно эквивалентны.

[Утундрий]

Ну а по-простому, норма матрицы есть некая числовая характеристика отклонения ея от нуля.

[ewert]

Утундрий в сообщении #400872 писал(а):

Ну а по-простому, норма матрицы есть некая числовая характеристика отклонения ея от нуля.

Нед. Это -- норма вообще. Норма же конкретно матрицы -- это, как правило, нечто большее.

[Утундрий]

ewert в сообщении #400874 писал(а):

Норма же конкретно матрицы -- это, как правило, нечто большее.

Однако, некоторые матричные нормы вполне выживают, даже если расписать матрицу в строку (макс модулей компонентов, например). Эти нормы - изгои, по причине "недостаточной матричности"?

[ewert]

Утундрий в сообщении #400879 писал(а):

Эти нормы - изгои, по причине "недостаточной матричности"?

Никто не изгой. Просто всякому овощу -- свой фрукт. В очень многих вопросах, действительно, не важно, что понимать под нормой матрицы (лишь бы аксиомы выполнялись). Но и очень часто весьма существенна как минимум мультипликативность, а ещё лучше -- операторность нормы.

[Утундрий]

ewert в сообщении #400880 писал(а):

В очень многих вопросах...

Это, по-моему, как раз и соответствует области определения "по-простому". Все прочее же - нюансы.

[ewert]

Вот Вам вполне конкретный пример:

moscwicz в сообщении #400269 писал(а):

докажите принцип сжатых отображений

Это -- как раз тот случай, когда принципиальна именно операторная норма (правда, там речь о метрических пространствах, но для частного случая нормированных ровно так и выходит). Конечно, потом это утверждение можно в определённом смысле обобщить и на произвольные нормы матриц. Но -- только потом, а изначально, не имея операторной нормы, даже и зацепиться-то не за что.

И ещё момент. Конечно, абстрактные нормы -- это замечательно. И все они эквивалентны. В конкретном конечномерном пространстве. Да только вот беда: в вычислительных приложениях очень часто нужны последовательности пространств с неограниченно возрастающей размерностью. И тогда все эквивалентности летят к чёрту. Если, конечно, нет неких полезных дополнительных соображений; но за них приходится бороться.

[Утундрий]

ewert
Все такие рассуждения не выводят за пределы первоначального определения, а лишь выделяют некие подклассы в чем-то более удобных наборов. Давайте не будем погружаться в тонкости и дебри, особенно учитывая первоначальный вопрос Stotch-а. По сути, Joker_vD ответил на него верно и с достаточной на данном этапе точностью, и я бы и не вмешивался, не забудь он о важности нуля. Не просто порядок, а именно отклонение от нуля - суть всякой нормы. Ну а то, что они в данном примере матричные... так это видимо исторически так сложилось. Попадись ТС-у не матрицы, а что-либо другое (хотя и вряд ли), недоумение было бы прежним.

[ewert]

Утундрий в сообщении #400896 писал(а):

Не просто порядок, а именно отклонение от нуля - суть всякой нормы.

А это ровно одно и то же, с точностью до невнятности обеих формулировок.

Утундрий в сообщении #400896 писал(а):

а лишь выделяют некие подклассы в чем-то более удобных наборов.

Дело не в удобствах. Дело в том, что есть два действительно принципиально разных определения нормы матрицы. Да, одно из них оказывается (в конце концов) частным случаем второго. Но этот частный случай настолько принципиален, что игнорировать его -- нельзя. Если, конечно, хочешь относиться к делу сознательно, а не просто гонять формулки туды-сюды.

[Утундрий]

ewert в сообщении #400898 писал(а):

есть два действительно принципиально разных определения нормы матрицы

В конечно- и бесконечномерных случаях?