2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Нормы матрицы
Сообщение14.01.2011, 22:28 
Объясните пожалуйста вот есть 3 наиболее распростроненные виды норм матриц
$||A||_1$
$||A||_2$
$||A||_\infty$
А что вообще такое норма матрицы?Вот там аксиомы какие-то выполняются.А как её вообще представить эту норму?Зачем она вообще нужна?И чем отличаются эти 3 нормы выше написанные?
И почему именно такие индексы у них 1,2 и беск?
Объясните кто знает пожалуйста понятным языком и терминами.Заранее благодарен

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение14.01.2011, 23:07 
Stotch в сообщении #400144 писал(а):
А как её вообще представить эту норму?Зачем она вообще нужна?

Норма — это "значимость" матрицы. Нужна она, чтобы мерять, какая матрица "больше", а какая — "меньше".

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение15.01.2011, 00:22 
Аватара пользователя
Есть как минимум 3 разных класса норм для матриц.
$$\begin{align*} &\text{1) векторная(операторная): }& \left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}, \qquad p=1,2,3...\infty\\
  &\text{2)

Все они имеют одинаковые обозначения вида $\|A\|_1, \|A\|_2, \|A\|_\infty$. При этом операторная норма скажем$\|A\|_4$ необязательна равна элементной норме $\|A\|_4.$ Но все они каким-то образом отображают "величину" матрицы, каждая в своем смысле. И все они как то нужны в народном хозяйстве.

Что именно интересует?

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение15.01.2011, 01:54 
Нормы довольно часто используются чтобы оценить как далеко друг от друга элементы.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение15.01.2011, 10:50 
Аватара пользователя
В Канатникове--Крищенко "Линейная алгебра" есть приложение про нормы матриц.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение15.01.2011, 12:43 
Вообще-то слова "норма матрицы" употребляются в двух смыслах.

1). Просто любая числовая функция от матрицы, удовлетворяющая аксиомам нормы: $\|A\|>0\ (\forall A\neq O)$, $\|\alpha A\|=|\alpha|\cdot\|A\|$ и $\|A+B\|\leqslant\|A\|+\|B\|$.

2). (как частный случай) Операторная норма матрицы: $\|A\|\equiv\max\limits_{\vec x\neq\vec0}\,\dfrac{\|A\vec x\|}{\|\vec x\|}$ (где норма вектора может выбираться как угодно, и каждому такому выбору отвечает своя норма матрицы).

И промежуточный вариант -- мультипликативные нормы матриц, которые кроме трёх аксиом удовлетворяют ещё и требованию $\|A\cdot B\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$ (естественно, это имеет смысл только для квадратных матриц, в отличие от всего предыдущего). Любая операторная норма является мультипликативной, обратное неверно. С другой стороны, любая вообще норма может быть сделана мультипликативной, если умножить её на подходящую константу.

Норма вообще матрицы ориентирована, как уже указывалось, на оценку того, насколько матрица мала. Операторная норма -- кроме того, на оценку возможного увеличения/уменьшения вектора после умножения на него матрицы. Как правило, норма матрицы используется для доказательств сходимости, и тогда выбор нормы не имеет принципиального значения, т.к. все нормы всё равно эквивалентны.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 22:30 
Аватара пользователя
Ну а по-простому, норма матрицы есть некая числовая характеристика отклонения ея от нуля.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 22:35 
Утундрий в сообщении #400872 писал(а):
Ну а по-простому, норма матрицы есть некая числовая характеристика отклонения ея от нуля.

Нед. Это -- норма вообще. Норма же конкретно матрицы -- это, как правило, нечто большее.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 22:42 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #400874 писал(а):
Норма же конкретно матрицы -- это, как правило, нечто большее.

Однако, некоторые матричные нормы вполне выживают, даже если расписать матрицу в строку (макс модулей компонентов, например). Эти нормы - изгои, по причине "недостаточной матричности"?

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 22:47 
Утундрий в сообщении #400879 писал(а):
Эти нормы - изгои, по причине "недостаточной матричности"?

Никто не изгой. Просто всякому овощу -- свой фрукт. В очень многих вопросах, действительно, не важно, что понимать под нормой матрицы (лишь бы аксиомы выполнялись). Но и очень часто весьма существенна как минимум мультипликативность, а ещё лучше -- операторность нормы.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 22:51 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #400880 писал(а):
В очень многих вопросах...

Это, по-моему, как раз и соответствует области определения "по-простому". Все прочее же - нюансы.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 22:59 
Вот Вам вполне конкретный пример:

moscwicz в сообщении #400269 писал(а):
докажите принцип сжатых отображений

Это -- как раз тот случай, когда принципиальна именно операторная норма (правда, там речь о метрических пространствах, но для частного случая нормированных ровно так и выходит). Конечно, потом это утверждение можно в определённом смысле обобщить и на произвольные нормы матриц. Но -- только потом, а изначально, не имея операторной нормы, даже и зацепиться-то не за что.

И ещё момент. Конечно, абстрактные нормы -- это замечательно. И все они эквивалентны. В конкретном конечномерном пространстве. Да только вот беда: в вычислительных приложениях очень часто нужны последовательности пространств с неограниченно возрастающей размерностью. И тогда все эквивалентности летят к чёрту. Если, конечно, нет неких полезных дополнительных соображений; но за них приходится бороться.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 23:14 
Аватара пользователя
ewert
Все такие рассуждения не выводят за пределы первоначального определения, а лишь выделяют некие подклассы в чем-то более удобных наборов. Давайте не будем погружаться в тонкости и дебри, особенно учитывая первоначальный вопрос Stotch-а. По сути, Joker_vD ответил на него верно и с достаточной на данном этапе точностью, и я бы и не вмешивался, не забудь он о важности нуля. Не просто порядок, а именно отклонение от нуля - суть всякой нормы. Ну а то, что они в данном примере матричные... так это видимо исторически так сложилось. Попадись ТС-у не матрицы, а что-либо другое (хотя и вряд ли), недоумение было бы прежним.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 23:22 
Утундрий в сообщении #400896 писал(а):
Не просто порядок, а именно отклонение от нуля - суть всякой нормы.

А это ровно одно и то же, с точностью до невнятности обеих формулировок.

Утундрий в сообщении #400896 писал(а):
а лишь выделяют некие подклассы в чем-то более удобных наборов.

Дело не в удобствах. Дело в том, что есть два действительно принципиально разных определения нормы матрицы. Да, одно из них оказывается (в конце концов) частным случаем второго. Но этот частный случай настолько принципиален, что игнорировать его -- нельзя. Если, конечно, хочешь относиться к делу сознательно, а не просто гонять формулки туды-сюды.

 
 
 
 Re: Нормы матрицы
Сообщение16.01.2011, 23:28 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #400898 писал(а):
есть два действительно принципиально разных определения нормы матрицы

В конечно- и бесконечномерных случаях?

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group