Нормы матрицы

[ewert]

Утундрий в сообщении #400899 писал(а):

В конечно- и бесконечномерных случаях?

Нет. Просто одно дело -- абстрактная норма. И совсем другое -- операторная. Последняя по происхождению и вообще не норма, и вводится она в обиход по совершенно другим мотивам. Это уж потом оказывается, что она всё-таки тоже норма.

[Утундрий]

ewert
Интэрэсно. То есть существует примеры конечномерной, операторной, но в то же время нематричной нормы?

[Gortaur]

Разумеется, возьмите просто нелинейный оператор в конечномерном пространстве.

[ewert]

Утундрий в сообщении #400912 писал(а):

но в то же время нематричной нормы?

Матричной нормы как чего-то специального -- не существует, это методический глюк. Существует норма ваще. И существует операторная норма ваще (которая, конечно, нормой тоже является, но не просто нормой). Норма же матрицы -- это лишь частный случай одного из этих понятий. Выбирайте по вкусу, но чего-то выбрать придётся.

-- Пн янв 17, 2011 01:32:45 --

Gortaur в сообщении #400916 писал(а):

Разумеется, возьмите просто нелинейный оператор в конечномерном пространстве.

Нет, нелинейные операторы тут совершенно не при чём, мы тут переливаем из исключительно линейно-пустого в не менее линейное порожнее.

[Утундрий]

Gortaur
В контексте данного обсуждения мне все-таки хотелось бы сохранить линейность.

-- Пн янв 17, 2011 01:35:24 --

ewert в сообщении #400919 писал(а):

Матричной нормы как чего-то специального -- не существует

Так и я о том же.

Но тогда, я просто не понимаю, что такое

ewert в сообщении #400919 писал(а):

операторная норма ваще

[Joker_vD]

Утундрий
Делим норму вектора после оператора на норму вектора перед оператором, смотрим на супремум.

[Утундрий]

*убрел перечитывать Колмогорова-Фомина*

[ewert]

Joker_vD в сообщении #400928 писал(а):

смотрим на супремум.

Ну вообще-то на просто максимум, раз уж просто матрицы. Это так, к слову; трепаться -- так уж трепаться.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

ewert
Ну, у нас преподаватель по функану всегда любил ловить на "максимумах": "Максимум, говорите? А он вообще существует? А вы докажите". Так что лучше супремум :)

[Утундрий]

Да, чтобы я напрасно не искал, просветите сразу: существуют ли в природе линейные операторы, действующие на конечномерных пространствах, не выражающиеся посредством матриц?

[Gortaur]

Joker_vD

(Оффтоп)

Вообще правильно, лучше быть осторожнее, у меня один знакомый прикладник даже для конечных множеств супремум употреблял - но раз уж можете доказать, то используйте максимум.

-- Пн янв 17, 2011 02:17:25 --

Утундрий
Теорема Рица - знакомо?

-- Пн янв 17, 2011 02:18:08 --

Да и без нее - определите значения оператора на базисе, а дальше все просто.

[ewert]

Утундрий в сообщении #400946 писал(а):

просветите сразу: существуют ли в природе линейные операторы, действующие на конечномерных пространствах, не выражающиеся посредством матриц?

Нет, не существуют, конечно. Ибо каждое конечномерное пространство изоморфно соотв. полю в степени эн, а на пространствах столбцов не важно над каким полем -- всё ясно.

[Утундрий]

ewert
Благодарю, Ваше мнение совпадает с моим интуитивным представлением, посему буду покамест считать его истинным.

Но чу! Не контрпример ли на горизонте?

Gortaur в сообщении #400951 писал(а):

Теорема Рица - знакомо?

К сожалению, не знаком. Где с ней можно познакомиться? (В Колмогорове-Фомине мы с ней кажется не встречались).

[ewert]

Joker_vD в сообщении #400943 писал(а):

Ну, у нас преподаватель по функану всегда любил ловить на "максимумах": "Максимум, говорите? А он вообще существует? А вы докажите".

ну вообще-то я не кину в него камень. Это вообще-то правильные придирки. Отбрыкиваться же от них следует - теоремой Вейерштрасса (коль скоро речь о конечномерном случае).

[Gortaur]

Утундрий
Ну а все-таки, как насчет определения линейного оператора на базисных векторах, makes sense? А там глядишь и теорему Рица сами докажите.