Вообще-то слова "норма матрицы" употребляются в двух смыслах.
1). Просто любая числовая функция от матрицы, удовлетворяющая аксиомам нормы:
![$\|A\|>0\ (\forall A\neq O)$ $\|A\|>0\ (\forall A\neq O)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/d/64d9e9a15b9a6a71695fcea92bd7cc3082.png)
,
![$\|\alpha A\|=|\alpha|\cdot\|A\|$ $\|\alpha A\|=|\alpha|\cdot\|A\|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/a/01a3d533fdbb3f8f09e7dbe877454c9a82.png)
и
![$\|A+B\|\leqslant\|A\|+\|B\|$ $\|A+B\|\leqslant\|A\|+\|B\|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/2/9a216247cfa022a6f72eba6e4e6cf1c782.png)
.
2). (как частный случай) Операторная норма матрицы:
![$\|A\|\equiv\max\limits_{\vec x\neq\vec0}\,\dfrac{\|A\vec x\|}{\|\vec x\|}$ $\|A\|\equiv\max\limits_{\vec x\neq\vec0}\,\dfrac{\|A\vec x\|}{\|\vec x\|}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/7/6b7af6728d8ce15c0cb2528518a61c1782.png)
(где норма вектора может выбираться как угодно, и каждому такому выбору отвечает своя норма матрицы).
И промежуточный вариант -- мультипликативные нормы матриц, которые кроме трёх аксиом удовлетворяют ещё и требованию
![$\|A\cdot B\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$ $\|A\cdot B\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/d/fbddb21e0d02da269abd5889804283ba82.png)
(естественно, это имеет смысл только для квадратных матриц, в отличие от всего предыдущего). Любая операторная норма является мультипликативной, обратное неверно. С другой стороны, любая вообще норма может быть сделана мультипликативной, если умножить её на подходящую константу.
Норма вообще матрицы ориентирована, как уже указывалось, на оценку того, насколько матрица мала. Операторная норма -- кроме того, на оценку возможного увеличения/уменьшения вектора после умножения на него матрицы. Как правило, норма матрицы используется для доказательств сходимости, и тогда выбор нормы не имеет принципиального значения, т.к. все нормы всё равно эквивалентны.