полнота и топология несколько примеров

[moscwicz]

Вот это, как мне кажется, надо рассказывать студентам даже в стандартном курсе анализа.
(Обсуждение того, является ли стандартным курс анализа, в котором нет понятий метрическое пространство, полнота, гомеоморфизм метрических пространств, я сразу оставляю профессиональным педагогам, мне это не интересно)

Рассмотрим метрическое пространство $\mathbb{R}$ с метрикой $d(x,y)=|x-y|$ и метрическое пространство $(-1,1)$ с той же метрикой. Эти пространства гомеоморфны, однако, одно из них полно, а другое нет.

Тоже, но вид сбоку. В пространстве $\mathbb{R}$ метрики $d$ и $\rho(x,y)=|\arctg x-\arctg y|$ задают одну и туже топологию. Но последовательность $\{n^2\}_{n\in\mathbb{N}}$ в смысле одной метрики является последовательностью Коши, а в смысле другой- нет.

[maxmatem]

Цитата:

Рассмотрим метрическое пространство $\mathbb{R}$ с метрикой $d(x,y)=|x-y|$ и метрическое пространство $(-1,1)$ с той же метрикой. Эти пространства гомеоморфны, однако, одно из них полно, а другое нет.

И что в этом примере такого удивительного....? И какая польза она будет студентам в стандартном курсе анализа?

[moscwicz]

(Оффтоп)

maxmatem
простите, но обсуждать преподавание анализа с человеком, которому разжевывают такие вещи:
topic40543.html ,
мне не интересно.

Prorab:

Строгое предупреждение за переход на личности

[maxmatem]

moscwicz
Я не совсем, понимаю вашу дискриминацию , но не хотите обсуждать ,не надо. Тем более я задал вопрос несколько другого характера. Т.к я сам заканчиваю математический факультет , мне было интересно узнать важность такого примера,
и кстатиЗазнайство -худшее качество математика

[caxap]

(Оффтопище)

Меня вот что удивляет. Преподаватели собираются в свои закрытые кружки и усердно обсуждают, как же им лучше преподавать математику. Но самих студентов -- потребителей всех их нововведений -- почему-то никто не слушает. А ведь их, по-моему, и нужно слушать в первую очередь. Это та обратная связь, по которой преподаватели должны подстраивать свою программу.

Вспомнилось, как В. Арнольд в какой-то статье писал, что лучшие (школьные) учебники по математике пишут не профессиональные математики, а обычные школьные педагоги, которые в течении долгих лет вылизывали свою программу, подстраиваясь под учеников.

[moscwicz]

maxmatem в сообщении #400468 писал(а):

Т.к я сам заканчиваю математический факультет , мне было интересно узнать важность такого примера,

С этого и надо было начинать, и без желтых рож. Важность примера состоит в том, что он показывает, что полнота пространства не является топологическим инвариантом.

caxap в сообщении #400481 писал(а):

Меня вот что удивляет. Преподаватели собираются в свои закрытые кружки и усердно обсуждают, как же им лучше преподавать математику. Но самих студентов -- потребителей всех их нововведений -- почему-то никто не слушает. А ведь их, по-моему, и нужно слушать в первую очередь. Это та обратная связь, по которой преподаватели должны подстраивать свою программу.

Преподаватели должны подстраивать свою программу под современное состояние математики и запросы ее приложений, а не под студентов и не под себя.

caxap в сообщении #400481 писал(а):

Вспомнилось, как В. Арнольд в какой-то статье писал, что лучшие (школьные) учебники по математике пишут не профессиональные математики, а обычные школьные педагоги, которые в течении долгих лет вылизывали свою программу, подстраиваясь под учеников.

Арнольд много чего говорил и был склонен к эпотажу в своих выступлениях. По-моему публицистика Арнольда это просто самопиар. ИМХО

[maxmatem]

moscwicz

Цитата:

maxmatem в сообщении #400468 писал(а):
Т.к я сам заканчиваю математический факультет , мне было интересно узнать важность такого примера,

С этого и надо было начинать, и без желтых рож

Я может и погорячился с жёлтой рожей. Кстати моя дипломная работа как раз именно по топологии(дифференциальной топологии) , поэтому и было интересно узнать про ваш пример.

[Padawan]

Есть такое понятие -- полное топологическое пространство.Отгадайте,что это ? (из Куратовского)

[moscwicz]

я не нашел этого в Куратовском. Могу предположить, что топология согласована с равномерной структурой в смысле которой пространство полно. В этом случае одной топологии может много различных равномерных структур соответствовать, как в моем примере.

[Padawan]

Замечание на стр. 415. Там говорится "Мы будем различать понятия полного пространства в метрическом смысле (которое было только что определено) и полного пространства в топологическом смысле, а именно, пространства, гомеоморфного некоторому полному пространству в метрическом смысле."
Куратовский только метрические рассматривает, равномерные не рассматривает.

[moscwicz]

Нуууууууууууу. Так можно чему угодно придать инвариантный смысл. Пространство обладает свойством (A) если оно гомеоморфно пространству, которое обладает свойством (A). Фактически это тУфталогия : топологически гомеоморфные пространства неразличимы, поэтому пространство обладает свойством (A) тогда и только тогда когда оно обладает свойством (A).

[Профессор Снэйп]

moscwicz в сообщении #400516 писал(а):

Фактически это тУфталогия

Ну почему же? Если найдётся пространство, не обладающее свойством (A), то понятие может оказаться содержательным.

Не знаю, как в матане/функане, а в теории вычислимости есть очень хороший пример. Множество называется цилиндрическим, если оно вычислимо изоморфно некоторому цилиндру (то есть множеству вида $A \times \mathbb{N}$)...

[moscwicz]

Профессор Снэйп в сообщении #400909 писал(а):

moscwicz в сообщении #400516 писал(а):

Фактически это тУфталогия

Ну почему же? Если найдётся пространство, не обладающее свойством (A), то понятие может оказаться содержательным.

Да, это я погорячился. Меня кстати тоже интересует этот вопрос, а бывают ли топологические пространства, которые не являются полными ни при какой рвномерной структуре, согласованной с данной топологией.

[Padawan]

moscwicz
Посмотрите Келли "Общая топология" задачи Л, М после главы 6 "Равномерные пространства". Там много про топологическую полноту написано. Одно из утверждений (со ссылкой на Дьедонне) -- каждое метризуемое просранство топологически полно.

-- Пн янв 17, 2011 19:35:48 --

Там достаточные в основном условия. Так что сразу на Ваш вопрос не ответишь... Ну существует, наверное, раз их изучали так много...

[Виктор Викторов]

moscwicz в сообщении #400351 писал(а):

Рассмотрим метрическое пространство $\mathbb{R}$ с метрикой $d(x,y)=|x-y|$ и метрическое пространство $(-1,1)$ с той же метрикой. Эти пространства гомеоморфны, однако, одно из них полно, а другое нет.

Padawan в сообщении #400512 писал(а):

Замечание на стр. 415. Там говорится "Мы будем различать понятия полного пространства в метрическом смысле (которое было только что определено) и полного пространства в топологическом смысле, а именно, пространства, гомеоморфного некоторому полному пространству в метрическом смысле."
Куратовский только метрические рассматривает, равномерные не рассматривает.

Так, что по Куратовскому $(-1,1)$ полное топологическое пространство? Оно ведь гомеоморфно полному метрическому пространству $\mathbb{R}$?

moscwicz в сообщении #400493 писал(а):

caxap в сообщении #400481 писал(а):

Вспомнилось, как В. Арнольд в какой-то статье писал, что лучшие (школьные) учебники по математике пишут не профессиональные математики, а обычные школьные педагоги, которые в течении долгих лет вылизывали свою программу, подстраиваясь под учеников.

Арнольд много чего говорил и был склонен к эпотажу в своих выступлениях. По-моему публицистика Арнольда это просто самопиар. ИМХО

К сожалению, похоже на правду. А тем кто не согласен, я предлагаю обсудить одну из самых «глубоких» проблем методики математики: «является ли кубический корень из восьми арифметическим?»