Методы математической физики

[Himfizik]

s.o.s.

s.o.s. в сообщении #395537 писал(а):

то X - это потенциал скорости?

Да.

Много вы по асимптотикам взяли литературы . Могу вам посоветовать почитать "Задачи по математическим методам физики" И.В. Колоколов, Е.А. Кузнецов, А.И. Мильштейн. Эта книга как раз адаптирована для учебных целей (точнее под студенческие нужды). Книгу писали физики, так что, вам должно понравиться адекватное сочетание математических методов и физической наглядности... Используйте Арнольда, наконец, и Тихонов и Самарский тоже неплохо излагают...

Теперь поищите или повспоминайте, как выражается векторы электрического и магнитного полей через вектор-потенциал $\vec A$. А также нам видимо понадобится лоренцева калибровка... Ну а чтоб уж наверняка, повспоминайте формулы векторного анализа...

[Munin]

Можно и без вектор-потенциала, в полях.

[Himfizik]

Да можно, можно. Автор темы, однако, высказывал мысли по поводу решения нескольких задач параллельно. Вот я и пытаюсь нейтрализовать такое неуёмное желание делать несколько дел одновременно приобщением и добавлением в задачу большего материала, чтобы занять собеседника, а заодно и научить его еще чему-то новому...

[s.o.s.]

Munin в сообщении #395589 писал(а):

Тогда уж и не $d,$ а $\partial$

$\nabla \vec D = 4 \pi \rho$
$\nabla \vec B = 0$
$\nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B}{c \partial t}$
$\nabla \times \vec H = \frac {4 \pi} {c} \vec j+ \frac {\partial d \vec D}{c \partial t}$

Munin в сообщении #395589 писал(а):

Теперь запишите случай, когда все поля не зависят от переменных $y$ и $z$

Всмысле, при каких условиях вектора в каждом поле направлены вдоль оси х и равны по величине?

Himfizik в сообщении #395702 писал(а):

Теперь поищите или повспоминайте, как выражается векторы электрического и магнитного полей через вектор-потенциал .

нашёл,
$\vec B= \nabla \times A$
$\vec E= -\nabla \varphi - \frac{\partial A}{\partial t}$
а для магнитного поля, уравнение уже не будет содержать $\vec H$ в явном виде?

Himfizik в сообщении #395702 писал(а):

Ну а чтоб уж наверняка, повспоминайте формулы векторного анализа...

Хорошо, подумаю.

s.o.s. в сообщении #395537 писал(а):

Думаю вопрос овладевания этими методами дело техники.

Беру свои слова назад, не всё так просто После первых двух, там пошли очень и очень сложные мат. примеры( по крайней мере для меня)
У меня такой наивный вопрос, а эти методы применяются уже после того, как составлен дифур, правильно?И на ход поиска уравнения сильно не влияют?Или не всё так формально, как я предполагаю??

[Munin]

В общем да, математическая физика - это наука, возникшая именно за счёт разделения двух действий: составления уравнения и решения уравнения - на достаточно независимые телодвижения. То есть метод решения, придуманный для уравнения какого-то типа, становится сразу полезен во многих областях физики, в которых возникают однотипные уравнения этого типа. Если бы такой универсальности не было, можно было бы решать задачи по месту возникновения, а не выделять их в отдельный раздел.

-- 10.01.2011 00:45:47 --

s.o.s. в сообщении #397171 писал(а):

Всмысле, при каких условиях вектора в каждом поле направлены вдоль оси х и равны по величине?

Нет, вектора могут быть направлены по-разному. Но вот частные производные по $y$ и $z$ обращаются в нуль. Остаются только по $x$ и $t.$ Потом надо будет немножко подставить одно в другое, и вместо системы уравнений первого порядка у вас получится одно уравнение второго порядка.

[Himfizik]

s.o.s.

С магнитным полем все коррект... Не будем сейчас заморачиваться с $\mu$ (пусть оно=1)...
От обеих частей уравнения, содержащего ротор магнитного поля, возьмите еще один ротор. Затем используйте, формулы векторного анализа и ф-лы, связывающие электр. и магн. поля с вектор-потенциалом...

s.o.s. в сообщении #397171 писал(а):

Беру свои слова назад, не всё так просто После первых двух, там пошли очень и очень сложные мат. примеры( по крайней мере для меня)
У меня такой наивный вопрос, а эти методы применяются уже после того, как составлен дифур, правильно?И на ход поиска уравнения сильно не влияют?Или не всё так формально, как я предполагаю??

С одной стороны (самой заметной), процессы составления диффура и решение его методами мат. физики разнесены во времени. Но с другой стороны, у физика, в отличии скажем от математика, должна быть физическая интуиция (основанная на опыте решения, здравом смысле, способности проводить аналогии), которая подсказывает какое уравнение могу я получить, имея четкую, корректно поставленную задачу и какие методы здесь заранее я могу предположительно использовать... Пользуясь аналогиями и сравнениями (не всегда хороший метод), можно углядеть и уравнение, которое получится, а заодно и способ его составления (опыт)... Короче, если по ходу эта коммента, нигде не порвалась логическая нить моих запутанных суждений ( ), то концепт такой: учите ММФ, разбирайте побольше примеров составления и решения диффуров в задачах физики, уделяйте больше внимания решению задач в ММФ, а не долгому разбору теории (теория важна, но вам по первости нужно набраться большим багажом методов ...)

[Munin]

Himfizik в сообщении #397508 писал(а):

Но с другой стороны, у физика, в отличии скажем от математика, должна быть физическая интуиция (основанная на опыте решения, здравом смысле, способности проводить аналогии),

Это настолько важно, что я выделил всеми способами. Чтобы знать и чувствовать, как поведёт себя решение, надо решать, решать и решать.

Himfizik в сообщении #397508 писал(а):

уделяйте больше внимания решению задач в ММФ, а не долгому разбору теории (теория важна, но вам по первости нужно набраться большим багажом методов ...)

В целом согласен, но багаж методов не настолько уж велик, а теория может быть важна с первых же шагов - например, понимание, что такое задача на собственные числа и собственные функции.

[Himfizik]

Munin

Согласен, хотя все же собственные числа и функции обычно даются в теории функционального анализа (достаточно подробно) и в теории дифференциальных уравнений (в разделе функции Грина, постановка краевых задач), а в ММФ, на мой взгляд, считается разумным лишь напомнить идущим по пути просвещения о той теории, которая нужна при решении конкретных задач с небольшими дополнениями и углублениями... Хотя основной акцент, все же, - на применение методов...Не зря же предмет так называется...

[Munin]

Мне досталась программа хуже, чем вам: УМФ шёл без указанных вами предварительных курсов. Так что я не знаю, какая теория из ММФ вообще изложена при нормальном подходе заранее. Этак можно считать, что вообще вся - чего в УМФ вообще остаётся, кроме функана и теории дифференциальных уравнений? Разве что полчайной ложки конкретики.

[Himfizik]

Да, наверное, мне просто повезло. Курс нам читался с тем расчетом, что студент должен был помнить элементы функционального анализа, диффуров... Вот и упор делался больше на применение изученного ранее материала для решения конкретных задач (в основном физических, естественно). Поэтому мне ММФ запомнился как кладезь методов, и вообще, как приличный курс для набивания рук в решении и накопления бесценного опыта...

[s.o.s.]

Munin в сообщении #397410 писал(а):

В общем да, математическая физика - это наука, возникшая именно за счёт разделения двух действий: составления уравнения и решения уравнения - на достаточно независимые телодвижения. То есть метод решения, придуманный для уравнения какого-то типа, становится сразу полезен во многих областях физики, в которых возникают однотипные уравнения этого типа. Если бы такой универсальности не было, можно было бы решать задачи по месту возникновения, а не выделять их в отдельный раздел.

Понятно!

Himfizik в сообщении #397508 писал(а):

С одной стороны (самой заметной), процессы составления диффура и решение его методами мат. физики разнесены во времени. Но с другой стороны, у физика, в отличии скажем от математика, должна быть физическая интуиция (основанная на опыте решения, здравом смысле, способности проводить аналогии), которая подсказывает какое уравнение могу я получить, имея четкую, корректно поставленную задачу и какие методы здесь заранее я могу предположительно использовать... Пользуясь аналогиями и сравнениями (не всегда хороший метод), можно углядеть и уравнение, которое получится, а заодно и способ его составления (опыт)... Короче, если по ходу эта коммента, нигде не порвалась логическая нить моих запутанных суждений ( ), то концепт такой: учите ММФ, разбирайте побольше примеров составления и решения диффуров в задачах физики, уделяйте больше внимания решению задач в ММФ, а не долгому разбору теории (теория важна, но вам по первости нужно набраться большим багажом методов ...)

ок!

Himfizik в сообщении #397508 писал(а):

С магнитным полем все коррект... Не будем сейчас заморачиваться с (пусть оно=1)...От обеих частей уравнения, содержащего ротор магнитного поля, возьмите еще один ротор. Затем используйте, формулы векторного анализа и ф-лы, связывающие электр. и магн. поля с вектор-потенциалом...

так...$\mu = 1 , \varepsilon = 1$

$rot(\vec H)=\vec j +\vec D \frac {\partial}{ \partial t}$
$rotrot(\vec H)=rot(\vec j +\vec D \frac {\partial}{\partial t})$
$grad(div(\vec H))-\Delta \vec H=rot(\vec j +\vec D \frac {\partial}{\partial t})$
$-\Delta rot \vec A=rot(\vec j +(-grad (\vec \varphi)-\vec A \frac{\partial}{\partial t}) \frac {\partial}{\partial t})$
и на этом я подзастрял...,
я попробовал начать не с написания второго ротора, а подстановкой формул векторного потенциала:
$rotrot(\vec A)=\vec j +(-grad (\vec \varphi)-\vec A \frac{\partial}{\partial t}) \frac {\partial}{\partial t}$
...
$\Delta \vec A-grad(div(\vec A+\varphi \frac{\partial}{\partial t}))-\vec A \frac {\partial ^2}{\partial t^2}=\vec j$
и собственно опять застрял

Munin в сообщении #397410 писал(а):

Нет, вектора могут быть направлены по-разному. Но вот частные производные по и обращаются в нуль. Остаются только по и Потом надо будет немножко подставить одно в другое, и вместо системы уравнений первого порядка у вас получится одно уравнение второго порядка.

Что-то это у меня совсем не получается
Вот смотрите, получается же
$\vec k(E_y \frac{\partial}{\partial x})+ \vec j(E_z \frac{\partial}{\partial x})=\vec B \frac{\partial}{\partial t}$
$\vec k(H_y \frac{\partial}{\partial x})+ \vec j(H_z \frac{\partial}{\partial x})=\vec j_1 + \vec D \frac{\partial}{\partial t}$
Так что-тут во что подставлять??

[Munin]

Во-первых, не пишите значок производной правее той величины, от которой берётся производная.

s.o.s. в сообщении #399447 писал(а):

Вот смотрите, получается же
$\vec k(\frac{\partial}{\partial x}E_y)- \vec j(\frac{\partial}{\partial x}E_z)=-\frac{\partial}{\partial t}\vec B$
$\vec k(\frac{\partial}{\partial x}H_y)- \vec j(\frac{\partial}{\partial x}H_z)=\vec j_1 + \frac{\partial}{\partial t}\vec D$
Так что-тут во что подставлять??

Избавимся от многобуквия: в вакууме $\vec{E}=\vec{D},$ $\vec{B}=\vec{H}:$
$\vec k(\frac{\partial}{\partial x}E_y)- \vec j(\frac{\partial}{\partial x}E_z)=-\frac{\partial}{\partial t}(\vec j B_y+\vec k B_z)$
$\vec k(\frac{\partial}{\partial x}B_y)- \vec j(\frac{\partial}{\partial x}B_z)=(\vec j j_y+\vec k j_z) + \frac{\partial}{\partial t}(\vec j E_y+\vec k E_z)$
Видно, что у нас две независимые системы: в одну входят $E_y$ и $B_z,$ в другую $E_z$ и $B_y.$ Рассмотрим одну из них:
$\frac{\partial}{\partial x}E_y=-\frac{\partial}{\partial t}B_z$
$-\frac{\partial}{\partial x}B_z=j_y + \frac{\partial}{\partial t}E_y$
Теперь от одного уравнения берём производную по $x,$ а от другого по $t.$ Получаем
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}E_y=-\frac{\partial^2}{\partial x\partial t}B_z$
$-\frac{\partial^2}{\partial x\partial t}B_z=\frac{\partial}{\partial t}j_y + \frac{\partial^2}{\partial t^2}E_y$
---
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}E_y=\frac{\partial}{\partial t}j_y + \frac{\partial^2}{\partial t^2}E_y$
и аналогично для $B_z.$ Вот и всё, это готовое волновое уравнение, только с правой частью.

[s.o.s.]

Munin в сообщении #399769 писал(а):

Во-первых, не пишите значок производной правее той величины, от которой берётся производная.

Хорошо.Мне просто показалось, что так как-то красивее

Munin в сообщении #399769 писал(а):

Избавимся от многобуквия: в вакууме Видно, что у нас две независимые системы: в одну входят и в другую и Рассмотрим одну из них:Теперь от одного уравнения берём производную по а от другого по Получаем---и аналогично для Вот и всё, это готовое волновое уравнение, только с правой частью.

Да уж, всё оказалось очень просто....

Я попробовал вывести уравненение колебания мембраны,
воспользовавшись выводом волнового уравнения в механике(шарик-пружина)
и книгой Тихомирова-Самарского(вывод уравнения мембраны я не смотрел).
Разметим наше пространство тремя осями u,x,y.
Пусть колебания мембраны происходят вдоль оси u.
Каждую точку мембраны можно охарактеризовать значением $x,y$.
Смещения мембраны $\vec u(x,y)$ лежат в одной плоскости и $\vec u$ перпендикулярен $\vec Ox$.
Будем рассматривать мембрану, как гибкую, упругую пластину.
Мат. выражения понятия гибкости заключается в том,
что напряжения в струне всегда направлны по касателной к профилю.Из этого следует, что струна не сопротивляется изгибу. Величина дуги может быть вычислена по закону Гука.
Подсчитаем растяжение, пренебрегая вторым порядком малости по сравнению с единицей.Считаем:
$S^{'} = \int_{x1}^{x2} {\int_{y1}^{y2} {\sqrt {(1 + u_x )(1 + u_y )} } } dxdy \cong S $
Из этого следует,что $\delta _{otnosit} = 0 \Rightarrow \vec T(t)=const$
также $\vec T(x,y)=T_0=const$
... доказательство этого....
Составляющая кол-ва движения участка $(x_1,x_2,y_1,y_2)$ равна
$\int_{x1}^{x2} {\int_{y1}^{y2} {u_t(x,y,t) \pho (x,y) } }dxdy$
где $\rho (x,y)$ - плотность в точке $x,y$.
Далее это дело надо как-то приравнять к импульсу действующих сил...
но вот как, не могу понять...
И в итоге должно получиться волновое уравнение, наверное.
Не мог бы кто-нибудь указать на мои ошибки и о чем надо подумать, чтоб завершить вывод(если конечно до этого всё правильно )

To EwertСпасибо вам за пример вывода волнового уравнения.Разобрав его по винтикам, я хоть начал немного разбираться в теме силы натяжения, упругость. А то раньше я даже не мог начать читать Самарского(там начало с этой темой связано), в голову приходили милион вопросов, вроде что такое натяжение в точке?Мы что, точку растягиваем??и т.п.

[Munin]

s.o.s. в сообщении #400298 писал(а):

Хорошо.Мне просто показалось, что так как-то красивее

Не просто не красивее, а в вашем случае не имеет никакого смысла, а в других разделах математики имеет смысл, но совсем другой, так что лучше бы вам такого не писать, считайте жёстким запретом.

[s.o.s.]

Munin в сообщении #400313 писал(а):

s.o.s. в сообщении #400298 писал(а):

Хорошо.Мне просто показалось, что так как-то красивее

Не просто не красивее, а в вашем случае не имеет никакого смысла, а в других разделах математики имеет смысл, но совсем другой, так что лучше бы вам такого не писать, считайте жёстким запретом.

Ок.
...
Я сделал выводы, буду задавать вопросы по конкретнее. Просто скучно было, вот и решил поделиться мыслями про мембрану...