Во-первых, не пишите значок производной правее той величины, от которой берётся производная.
Хорошо.Мне просто показалось, что так как-то красивее
Избавимся от многобуквия: в вакууме Видно, что у нас две независимые системы: в одну входят и в другую и Рассмотрим одну из них:Теперь от одного уравнения берём производную по а от другого по Получаем---и аналогично для Вот и всё, это готовое волновое уравнение, только с правой частью.
Да уж, всё оказалось очень просто....
Я попробовал вывести уравненение колебания мембраны,
воспользовавшись выводом волнового уравнения в механике(шарик-пружина)
и книгой Тихомирова-Самарского(вывод уравнения мембраны я не смотрел).
Разметим наше пространство тремя осями u,x,y.
Пусть колебания мембраны происходят вдоль оси u.
Каждую точку мембраны можно охарактеризовать значением
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
.
Смещения мембраны
![$\vec u(x,y)$ $\vec u(x,y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dcb0933589ba72a7fef521d41483eb882.png)
лежат в одной плоскости и
![$\vec u$ $\vec u$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/9/94945b86e4e6cc4bdd84868c13e2164a82.png)
перпендикулярен
![$\vec Ox$ $\vec Ox$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/6/636fdcc1b256880629fdfb70ac681ea382.png)
.
Будем рассматривать мембрану, как гибкую, упругую пластину.
Мат. выражения понятия гибкости заключается в том,
что напряжения в струне всегда направлны по касателной к профилю.Из этого следует, что струна не сопротивляется изгибу. Величина дуги может быть вычислена по закону Гука.
Подсчитаем растяжение, пренебрегая вторым порядком малости по сравнению с единицей.Считаем:
![$S^{'} = \int_{x1}^{x2} {\int_{y1}^{y2} {\sqrt {(1 + u_x )(1 + u_y )} } } dxdy \cong S $ $S^{'} = \int_{x1}^{x2} {\int_{y1}^{y2} {\sqrt {(1 + u_x )(1 + u_y )} } } dxdy \cong S $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/8/d08652516b4fef283de47927ccaf3e7582.png)
Из этого следует,что
![$\delta _{otnosit} = 0 \Rightarrow \vec T(t)=const$ $\delta _{otnosit} = 0 \Rightarrow \vec T(t)=const$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/c/4bcc9f1c536acce2785891792e56786082.png)
также
![$\vec T(x,y)=T_0=const$ $\vec T(x,y)=T_0=const$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/5/bf5acb0eb43ddd469f6250e1b3d6b33782.png)
... доказательство этого....
Составляющая кол-ва движения участка
![$(x_1,x_2,y_1,y_2)$ $(x_1,x_2,y_1,y_2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/4/574e0f8b2d1398ac0e6dfaef61bad8a482.png)
равна
где
![$\rho (x,y)$ $\rho (x,y)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/5/e15dcfe6a82f20d51826fa91db627a1582.png)
- плотность в точке
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
.
Далее это дело надо как-то приравнять к импульсу действующих сил...
но вот как, не могу понять...
И в итоге должно получиться волновое уравнение, наверное.
Не мог бы кто-нибудь указать на мои ошибки и о чем надо подумать, чтоб завершить вывод(если конечно до этого всё правильно
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
)
To EwertСпасибо вам за пример вывода волнового уравнения.Разобрав его по винтикам, я хоть начал немного разбираться в теме силы натяжения, упругость. А то раньше я даже не мог начать читать Самарского(там начало с этой темой связано), в голову приходили милион вопросов, вроде что такое натяжение в точке?Мы что, точку растягиваем??и т.п.