Доказательство ВТФ для n=2(4m-1).

[iakowlew]

Уважаемые друзья!
Вернемься к нашим баранам...
Рассмотрим уравнение
$x^6+y^6=z^6$,
где $x$ - четное число.
Имеем:
$z_2^6=x^4-x^2y^2+y^4$,
$y_2^6=x^4+x^2z^2+z^4$.
Это уравнения вида (5).
Поэтому, на основании формул (6), имеем:
$y^2=1-2^{-2}x^4+2^{-2}x^2y^2$,
$z^2=1-2^{-2}x^4-2^{-2}x^2z^2$.
Имеются в ввиду рациональные значения $x,y,z$...

[r-aax]

вернемся

iakowlew в сообщении #395757 писал(а):

Имеем:
$z_2^6=x^4-x^2y^2+y^4$,
$y_2^6=x^4+x^2z^2+z^4$.
Это уравнения вида (5).

В каком смысле это уравнения вида (5)?

iakowlew в сообщении #395757 писал(а):

Поэтому, на основании формул (6), имеем:
$y^2=1-2^{-2}x^4+2^{-2}x^2y^2$,
$z^2=1-2^{-2}x^4-2^{-2}x^2z^2$.

Формулы (6) относятся к конкретному уравнению. Так что тут требуется обоснование.

[iakowlew]

Уважаемый "r-aax".
Если все обосновывать, то "памяти" сайта мехмата МГУ явно
не хватит. Поэтому "в некоторых вещах" приходится разбираться
самим...
Приводите опровергающие примеры. У Вас это получается.
Опровержение доказательства - это тоже доказательство.
С уважением, Яковлев.

[r-aax]

В приведенной Вами ссылке уравнение имеет совершенно определенный вид. Ваши уравнения не являются его частными случаями. Если рассмотреть, например, уравнение

$x_1^2 + x_2^2 + y^2 = z^2$

то его решения описываются приведенными с статье формулами (или Вашими с учетом коэффициента $k$). Но если взять уравнение

$x_1^2 - x_2 ^2 + y^2 = z^2$

то уже нельзя просто сказать, что оно того же вида. Какими формулами описываются его решения?

[iakowlew]

Вы совершенно правы.
На то и теоремы, чтобы пытаться их доказать.
Рассмотрим
$x_1^2+x_2^2+y^2=z^2$.
Далее
$a_1x_1^2+a_2x_2^2+y^2=z^2$.
Допустим, что $a_1,a_2$ - целые числа.
Допустим, что $a_1=a_2=1$.
Можно получить "все решения уравнения" в общем виде.
Допустим, что $a_2=-1$.
Тогда, очевидно, можно получить "все решения уравнения"
$x_1^2-x_2^2+y^2=z^2$.

[iakowlew]

Продолжим...
Т. к. $z>y$, то
$z^2=-1+2^{-2}x^4+2^{-2}x^2z^2$.
Тогда
$z^2+y^2=2^{-1}x^2(z^2+y^2)$,
или
$1=2^{-1}x^2$, что невозможно в целых числах.

[r-aax]

iakowlew в сообщении #395877 писал(а):

Тогда, очевидно, можно получить "все решения уравнения"
$x_1^2-x_2^2+y^2=z^2$.

Укажите, пожалуйста, формулы для получения всех решений этого уравнения. С другими $a_1, a_2$ разберемся позже.

[iakowlew]

Читайте дальше Журнал "Квант"...
Я его читал, когда учился в двух физико-математических
школах, кроме обычной школы...
Одна из школ была при МФТИ.

[r-aax]

Зачем мне его читать?
Вы привели какое-то общее утверждение, относительно уравнения $a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + y^2 = z^2$, ссылаясь на журнал "Квант".
Однако в журнале такого утверждения нет, доказывать Вы его отказываетесь, да и вообще оно неверно.

[iakowlew]

Вы посмотрите Журнал...
Там есть ответы на ваши вопросы...
Только не таскайте его сюда.

[r-aax]

Понятно. На вопросы, касающиеся Вашего доказательства, Вы отвечать не хотите.

Тем не менее, уверждение

iakowlew в сообщении #392830 писал(а):

Из уравнения (5) следует, что уравнение
$a_1x_1^2+...+a_nx_n^2+y^2=z^2$,
где $a_1,...,a_n$ - целые числа, имеет следующие решения в рациональных числах
(6) $y=1-2^{-2}a_1x_1^2-...-2^{-2}a_nx_n^2, z=1+2^{-2}a_1x_1^2+...+2^{-2}a_nx_n^2$.

неверно, как и все дальнейшее доказательство.

[iakowlew]

Может быть, Вы хотите сказать, что не все решения
уравнения описываются этими формулами.
Приведите пример.
У Вас это получается.
Или...

-- Пт янв 07, 2011 12:44:54 --

Может быть, Вы хотите сказать, что не все решения
уравнения описываются этими формулами.
Приведите пример.
У Вас это получается.
Или...

[r-aax]

iakowlew в сообщении #396244 писал(а):

Может быть, Вы хотите сказать, что не все решения
уравнения описываются этими формулами.
Приведите пример.

Именно. Привожу контрпример.

Частный случай - уравнение $x_1^2 - x_2^2 + y^2 = z^2$.

Вы утверждаете:

iakowlew в сообщении #392830 писал(а):

Из уравнения (5) следует, что уравнение
$a_1x_1^2+...+a_nx_n^2+y^2=z^2$,
где $a_1,...,a_n$ - целые числа, имеет следующие решения в рациональных числах
(6) $y=1-2^{-2}a_1x_1^2-...-2^{-2}a_nx_n^2, z=1+2^{-2}a_1x_1^2+...+2^{-2}a_nx_n^2$.

В примере $a_1 = 1, a_2 = -1$. То есть:

$y = 1 - 2^{-2}x_1^2 + 2^{-2}x_2^2$
$z = 1 + 2^{-2}x_1^2 - 2^{-2}x_2^2$

То есть, при $x_1 = 1, x_2 = 1$ по Вашим формулам однозначно определяются $y, z$: $y = 1, z = 1$.
Однако, нетрудно видеть, что при $x_1 = 1, x_2 = 1$ уравнению удовлетворяют также $y = 2, z = 2$ и вообще любые пары $y = z$. Эти решения не описываются формулами из Вашего утверждения.

[iakowlew]

Может быть, Мы решаем уравнение
$y^2=z^2$...?

[r-aax]

Я написал, какое уравнение мы решаем.