Iakowlew писал:
- «….

Поэтому одно из чисел a,b – чётное».
Гаджимурат писал:
- «А если

и u- чётное».
Все решения уравнения Пифагора – примитивные тройки Пифагора – можно получить двумя равноценными методами, ибо пара нечётных чисел имеет соответствующую пару чисел различной чётности, и наоборот. Поэтому любые другие решения – тождественные, исходят из них, иных не существует.
1. Решение уравнения, приведением к нечётному одночлену (по необходимости изменим обозначения):

Запишем фолмулы решения:

где

нечётные,

для неоднородных,

для однородных решений.
2. Решение приведением к чётному одночлену:

При явной чётности переменных, получаем:
После приведения к неоднородному виду, имеем:

где

различной чётности,

для неоднородных решений.
Между решениями уравнения с чётным и нечётным одночленом имеется связь:
![$\[{\text{x}} = 2{{\text{V}}_1}{{\text{V}}_2} = ({\text{U}}_2^2 - {\text{U}}_1^2)/2,{\text{ y}} = {\text{V}}_2^2 - {\text{V}}_1^2 = {{\text{U}}_1}{{\text{U}}_2},{\text{ }}\]$ $\[{\text{x}} = 2{{\text{V}}_1}{{\text{V}}_2} = ({\text{U}}_2^2 - {\text{U}}_1^2)/2,{\text{ y}} = {\text{V}}_2^2 - {\text{V}}_1^2 = {{\text{U}}_1}{{\text{U}}_2},{\text{ }}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/5/f7596627f9449a85c209640c809edc4d82.png)
![$\[{\text{z }} = {\text{ V}}_2^2 + {\text{V}}_1^2 = ({\text{U}}_2^2 + \text{U}}_1^2)/2\]
$ $\[{\text{z }} = {\text{ V}}_2^2 + {\text{V}}_1^2 = ({\text{U}}_2^2 + \text{U}}_1^2)/2\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/0/26059c79607af4b59586dc89861896ab82.png)
, где
Пары чисел имеют аналоги отличной чётности.
3.Решение, заменой переменных
Равенство решений трёх вариантов:

где

чётное,

для неоднородных решений.
Вывод: варианты решений, при соответствующей замене

, тождественные. Они генерируют тождественный и полный набор троек Пифагора по той причине, что сложное число степени k разлагается на два взаимно простых множителя при условии, что они порознь числа степени k. Во сех трёх случаях сомножители правой стороны уравнения сомножители степени k, но представленные по-разному. Значения

и

также

попарно пробегая по N гененируют одни и те же решения, исключая возможность сушествования иных решений, ибо набор попарно взаимно простых чисел одноразовый и бесконечный!
С наступающим Новым Годом!
С уважением:Sándor