банаховы пространства

[moscwicz]

Да я сдаюсь. Это что получается, мы даже компактный оператор не можем построить в сколько-нибудь общей ситуации? (в гильбертовом пространстве все-таки можем) Забавно. Интересно это только мы такие глупые или это сложно понять существует он или нет?

[id]

Инъективный компактный. Не знаю, увы. Но любопытно.
Гугл не дает чего-то определенного; можно конечно еще на mathoverflow поинтересоваться...

[id]

Если в $X$ есть базис Шаудера, то все тоже получается. Пусть $\{ e_i \}_i$ - базис Шаудера в $X$, вектора единичные. $\{ e_i' \}_i$ - счетная тотальная нормированная система в $X^*$.
Тогда оператор $T:= \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac {<\cdot, e_i'>} {2^i} e_i$ будет компактным и инъективным (в силу единственности разложения по базису Шаудера и тотальности $\{ e_i' \}_i$

P.S.
А есть ли банаховы пр-ва с сопряженным сепарабельным, но не имеющие базиса Шаудера?

[moscwicz]

Есть такая теоремка небанальная ( Lindenstrauss Tzafriri Classical Banach Spaces I): В сепарабельном банаховом пространстве $X$ существуют фундаментальная система векторов $\{e_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset X$ и тотальная система векторов $\{e_k'\}\subset X',\quad (e_k,e'_j)=\delta_{kj}$ такие, что $\sup_k\{\|e_k\|,\|e_k'\|'\}\le 20$.
Отсюда сразу следует, что $x\mapsto \sum_k 2^{-k}(x,e_k')e_k$ искомый компактный инъективный оператор.

-- Sun Jan 09, 2011 15:49:38 --

id в сообщении #395581 писал(а):

mathoverflow поинтересоваться..

там одни идиоты пасутся: я и их спросил про изоморфность $C^1[0,1]$ и $C[0,1]$, а они начали мне хором говорить, что это homework exercise. Больше всего мне подсказка их понравилась : $C^1[0,1]/\mathbb{R}\sim C[0,1]$. Очевилно, это наблюдение вершина их способностей.

[ewert]

Кстати, я чего-то перестал понимать: а что, собственно, в точности понимается под $C^1[a;b]$?...

[Padawan]

ewert
$\|x\|=\max|x(t)|+\max|x'(t)|$

[ewert]

Это-то понятно. Но в каком смысле понимается дифференцируемость на замкнутом промежутке?...

[Padawan]

В концах - односторонние производные, $x'\in C[a,b]$

[ewert]

Мне тоже всегда так казалось, но вот вдруг засомневался. Можно ведь требовать и лишь того, чтобы существовала (ограниченная) производная лишь во внутренних точках. Это -- более широкое пространство, и тоже полное.

А засомневался вот почему: ну хорошо, в одномерном случае односторонние производные, ладно; а в многомерном -- что понимать под производными на границе?... (особенно учитывая, что граница может быть весьма скверной)

[moscwicz]

ewert в сообщении #397252 писал(а):

а в многомерном -- что понимать под производными на границе?

а в многомерном случае $u\in C^k(\overline{M})$ где $M$ -- это открытое множество, означает, что $u$ $k-$дифференцируема на некотором открытом множестве содержащем $\overline{M}$. Если граница $\overline{M}$ является достаточно гладким многообразием, то пространство $ C^k(\overline{M})$ банахово.

[ewert]

moscwicz в сообщении #397478 писал(а):

Если граница $\overline{M}$ является достаточно гладким многообразием,

Угу. А квадрат -- это гладкое многообразие или не очень?... (я честно не помню)

А вот если не требовать дифференцируемости на границе, то оно будет полным при любой границе.

[moscwicz]

ewert в сообщении #397490 писал(а):

Угу. А квадрат -- это гладкое многообразие или не очень?

нет, квадрат это не есть гладкое многообразие

еще одно определение $C^k(\overline{M})$ такое: все производные должны непрерывно продолжаться на границу. Тогда должно получаться банахово пространство при любой границе

[ewert]

moscwicz в сообщении #397515 писал(а):

еще одно определение $C^k(\overline{M})$ такое: все производные должны непрерывно продолжаться на границу.

Да, так действительно сойдёт.

[id]

Что-то мне вот это

Цитата:

и тотальная система векторов $\{e_k'\}\subset X',\quad (e_k,e'_j)=\delta_{kj}$ такие, что $\sup_k\{\|e_k\|,\|e_k'\|'\}\le 20$.

кажется непонятным. Тотальная система - значит лин. оболочка плотна. Если она к тому же счетна, то пространство будет сепарабельным.
Тогда почему в обозначениях как-то намекается на счетность $\{e_k'\}\subset X'$, если уже $X=l^1$ дает контрпример?
Надо, наверно, ориг. книгу посмотреть...

[Padawan]

Тотальная -- значит из $e'_k(x)=0$ для всех $k$ следует $x=0$.