одномерный електрон в ЭМ поле

[Munin]

AlexNew в сообщении #392854 писал(а):

здесь решается нестационарное уравнение

ну хорошо если так

[Bulinator]

AlexNew в сообщении #392854 писал(а):

достаточно взять ФП в одном представлении чтобы получить другое.

Это так для волновой функции. А вы сделали для Гаимльтониана(кстати как вы определяете ФП для операторов?). Притом так, что импульсы и волновые векторы (новый параметр возникающий при ФП $k$) совпадают.

[AlexNew]

Bulinator писал(а):

Это так для волновой функции. А вы сделали для Гаимльтониана(кстати как вы определяете ФП для операторов?). Притом так, что импульсы и волновые векторы (новый параметр возникающий при ФП $k$) совпадают.

это стандартная процедура, есть в любом учебнике.
Гамильтониям можно записать в разных представлениях, собственом, импульсном, координатном,...
Формулы кот я привел выше получаются очень просто берем скажем $\psi(x,t)$ и представляем ее в виде суммы плоских волн $e^{ikx}$ :
$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int \psi(k,t) e^{ikx} dk $
подставляем в уравнения и получаем гамильтониан в k представлении, действующий на $\psi(k,t)$
(анологично получают уравнения гельмгольца, толька там от время избавляются)

а $p$ переходит в $k$ в смысле волн материи $p = h k $ (волны Дебройля)

[Bulinator]

Дайте ссылку на учебник. (Тут либо что-то умное кроется, либо Вы вконец запутались.)

[AlexNew]

тут кроется элементарное преобразование Фурье и представление операторов в различных базисах...

например в инете лекция
http://web.ift.uib.no/~lipniack/fys201_ ... mspace.pdf
я у Шанкара глянул стр149-150
...

[Bulinator]

На указанных Вами страницах только преобразование в.ф..
Опять же, чтобы представить Ваш оператор Гамильтона в базисе $p$, нужно разложить экспоненту в ряд по $x$ а дальше заменить его на $\imath\hbar \frac{d}{dk}$.
Координатное представление потому и распространено, что гамильтониан в нерелятивистской механике всегда второго порядка по импульсам. Соответственно, уравнение Шредингера всегда второго порядка. Потому и получали неправильное решение.

Кстати, там Гауссово распределение имеет не электрическое поле а фолновая функция.(Вы, часом не путаете?) И выводится принцип неопределенности Гейзенберга.

[AlexNew]

Bulinator писал(а):

На указанных Вами страницах только преобразование в.ф..
Опять же, чтобы представить Ваш оператор Гамильтона в базисе $p$

а что вы ожидали увидеть ? вы спросили о там как выглядид оператор в моментном представлении, там ответ.

5 слайд, формула обведена
$\hat{x} = - \frac{-h}{i} \frac{d}{dp}$
осталось вспомнить что
$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{x} e E = \frac{\hat{p}^2}{2m} + eE h \frac{d}{idp}} $
и вперед, что вас так удивляет??????
вам не приходилось решать уравнения используя преоброзования Фурье ?
электродимамика по швам трещит, везде этот способ, чем КМ хуже

да $k$ для волновой функции и для Гауссова импульса разные.
на самом деле там надо писать $E x$
я уже писал что $E$ и $x$ не коммутируют, но это вылевается лишь в разность фаз.
для
$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{e}{m}\hat{p} A$
Такой проблемы нет вообще, давайте для него решать в $p$ представлении

Вопрос ведь совсем другой!
почему исчезает время для $<v>$
Как решить подругому чтобы было все в порядке ?

Bulinator писал(а):

Соответственно, уравнение Шредингера всегда второго порядка. Потому и получали неправильное решение.

Это не так, в координатном представлении оно второго порядка. (Посмотрите любой любой учебник, или Шанкара с149-150.)
Какое решение правельное ???

-- Ср дек 29, 2010 02:55:22 --

П.С.
Меня вполне устроит решение с чистого листа,
можно решать в $\hat{x}$ представлении, вопрос только как ???

[Bulinator]

AlexNew

AlexNew в сообщении #393145 писал(а):

5 слайд, формула обведена
$\hat{x} = - \frac{-h}{i} \frac{d}{dp}$
осталось вспомнить что
$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{x} e E = \frac{\hat{p}^2}{2m} + eE h \frac{d}{idp}} $
и вперед, что вас так удивляет??????

Удивляет сразу несколько вещей:

1. У Вас E не зависит от $x$, несомтря на то, что зависит. Если Вы заменяете $\hat{x} = - \frac{-h}{i} \frac{d}{dp}$, то должны это сделать и для $x$ в E.
2. Вы так лихо записали потенциал поля ввиде $xE$. Вообще то, потенциал поля $E_0 e^{-(x-ct)^2/\Delta x}$ нельзя получить его умножением на $x$. Надо проинтегрировать его так, чтобы $E=-\frac{1}{c}\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}+grad{\phi}$. Надо признать, что я тоже ошибся в сообщении
   
   Bulinator в сообщении #392788 писал(а):

   Да и кстати, что-то мне подсказывает, что эту задачу вот с таким Гамильтонианом:
   $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2}+E_0 e^{-(x-ct)^2/\Delta x}$

AlexNew в сообщении #393145 писал(а):

вам не приходилось решать уравнения используя преоброзования Фурье ?

Приходилось конечно. Но тот факт, что такой метод существует еще не говорит о том, что Вы используете его правильно.

AlexNew в сообщении #393145 писал(а):

электродимамика по швам трещит, везде этот способ, чем КМ хуже

Вот только не надо пафосных выражений.

AlexNew в сообщении #393145 писал(а):

да $k$ для волновой функции и для Гауссова импульса разные.
на самом деле там надо писать $E x$
я уже писал что $E$ и $x$ не коммутируют, но это вылевается лишь в разность фаз.
для
$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{e}{m}\hat{p} A$
Такой проблемы нет вообще, давайте для него решать в $p$ представлении

Проблема есть. Вдумайтесь. Вы допускаете сразу несколько ошибок:

1. Изначально пишете неправильный Гамильтониан умножая $x$ на $E$и прибавляя к $p^2/2m$
2. Делаете неправильное преобразование Фурье уравнения.

AlexNew в сообщении #393145 писал(а):

опрос ведь совсем другой!
почему исчезает время для $<v>$

Потому что решение неправильно.

AlexNew в сообщении #393145 писал(а):

Какое решение правельное ???

Первое, что Вам нужно сделать, это подобрать такие $\phi$ и ${\bf A}$, чтобы Ваше эл. поле представлялось ввиде $E=-\frac{1}{c}\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}+grad{\phi}$. Думаю, это сделать будет не трудно.
Второе: либо попытаться его решить(что у Вас на врядли получится), либо предположить, что Ваше поле мало по сравнению с чем-то(с чем?? это тоже надо определить) и рассматривать его как возмущение. ВОбщем, на Вашем месте я бы выписал Гамильтониан, записал бы уравнение Шредингера в безразмерных величинах и пошел бы в соседний отдел с просьбой помочь решить уравнение.

[Munin]

Bulinator в сообщении #393226 писал(а):

либо предположить, что Ваше поле мало по сравнению с чем-то(с чем?? это тоже надо определить)

Добавлю: и в какой области. Может быть такая ситуация, что для некоторого наперёд заданного $L$ поле мало в $(-L,L),$ но не может считаться малым на всей бесконечности.

[Bulinator]

Забыл сказать, ошибка в том, что делая Фурье преобразование уравнения Вы предполагаете, что
$FT(U\psi)=FT(U)FT(\psi)$, где FT-преобразование Фурье, $U$- потенциал(в Вашем случае эл. поля) а $\psi$- волновая функция. Это, конечно же неверно.

[AlexNew]

Цитата:

Удивляет сразу несколько вещей:

У Вас E не зависит от $x$, несомтря на то, что зависит. Если Вы заменяете $\hat{x} = - \frac{-h}{i} \frac{d}{dp}$, то должны это сделать и для $x$ в E.
Вы так лихо записали потенциал поля ввиде $xE$. Вообще то, потенциал поля $E_0 e^{-(x-ct)^2/\Delta x}$ нельзя получить его умножением на $x$.

Проблема есть. Вдумайтесь. Вы допускаете сразу несколько ошибок:

Изначально пишете неправильный Гамильтониан умножая $x$ на $E$и прибавляя к $p^2/2m$
Делаете неправильное преобразование Фурье уравнения.

Давайте не будем обсуждать очевидные вещи, которые можно найти в любом учебнике.
1) гамильтониан записан правельно! ("Квантовая оптика" Скали, ст гдето 170 , несколько глав)
2) преоброзавание Фурье записано верно! (с точностью до знаков и описок, ссылку я давал)

Цитата:

Забыл сказать, ошибка в том, что делая Фурье преобразование уравнения Вы предполагаете, что
$FT(U\psi)=FT(U)FT(\psi)$, где FT-преобразование Фурье, $U$- потенциал(в Вашем случае эл. поля) а $\psi$- волновая функция. Это, конечно же неверно.

здесь не так, FT бралось только от волновой функии, потенциал (поле) можно сразу записать в нужных координатах, оно не связано с FT волн функции, вы сами заметили что там k разные, хотя сначала я сделал ошибку.

задачку почти решил вчера, просто как УЧП , формализм КМ только запутывает...

[Bulinator]

AlexNew
Вот сейчас представте, что это писали не Вы прочтите снова и снова и снова... пока не поймете, что Вы сказали и не признаете свою ошибку

AlexNew в сообщении #393411 писал(а):

FT бралось только от волновой функии, потенциал (поле) можно сразу записать в нужных координатах, оно не связано с FT волн функции, вы сами заметили что там k разные, хотя сначала я сделал ошибку.

FT-математическая операция. Она не знает $x$ у нас из волн. функции или из потенциала.

[AlexNew]

ну хорошо, представте что вам дано по условию поле в виде $A = A(k,t)$
По условию сказано Гаусов пучок, а в каких координатах вы его запишите не важно.

П.С.
это же КМ, почитайте Фейнмана, здесь все дозволено

[Bulinator]

AlexNew
Я более не могу продолжать дисскуссию ибо Вы меня ни то что не слушаете а еще и отсылаете к книгам, которые Вы, видимо, читали невнимательно.

[Утундрий]

Имеет ли смысл просить сформулировать наконец корректную постановку задачи, или ТС со товарищи еще пару-тройку страниц ни о чем накатать в состоянии?