Вопрос возник по ходу дела, для случая банахова пространства-не гильбертова (ну и пусть к тому же нет базиса Шаудера).
Естественной выглядит идея выделения в

базиса Гамеля (заведомо несчетного)

из единичных векторов, в котором выделяется счетное подмножество

. Строим линейный оператор

такой, что

; на остальных векторах из

оператор тождественен.
Вопрос - а будет ли такой оператор непрерывен?
Кажется, да.Похоже, что нет, хотя и удивляет:
Пусть

остается как есть, а

заменим на

,

.

; тогда при должном выборе

имеем

.
Однако

, откуда все понятно.
Тогда остается вопрос - а как же дорешивать исходную задачу, если такая наивная конструкция не срабатывает?