банаховы пространства

[moscwicz]

Пусть банахово пространство $X$ таково , что для любого открытого шара $B\subset X$ и любого $f\in C(B,X)$ множество $f(B)$ открыто в $X$. Доказать, что $X$ конечномерно.

[moscwicz]

забыл сказать : любого инъективного $f$






простая задача, неинтересно

[Юстас]

moscwicz в сообщении #384725 писал(а):

простая задача, неинтересно

Вы имели в виду, что достаточно рассмотреть компактный оператор, спектр которого не содержит 0?

[id]

Правый сдвиг в $l_2$ тоже наводит на кое-какие соображения.

[id]

Вопрос возник по ходу дела, для случая банахова пространства-не гильбертова (ну и пусть к тому же нет базиса Шаудера).
Естественной выглядит идея выделения в $X$ базиса Гамеля (заведомо несчетного) $\{ e_{\lambda}\}_{\lambda}$ из единичных векторов, в котором выделяется счетное подмножество $\{ e_i\}_{i=1}^{\infty}$. Строим линейный оператор $T$ такой, что $T(e_i) = e_{i+1}, i \geq 1$; на остальных векторах из $\{ e_{\lambda}\}_{\lambda}$ оператор тождественен.

Вопрос - а будет ли такой оператор непрерывен? Кажется, да.

Похоже, что нет, хотя и удивляет:
Пусть $e_1$ остается как есть, а $e_i$ заменим на $\hat e_i := -e_1+ \frac {C} {i^2} e_i$, $i \geq 2$.
$x_n:= (n-1) e_1 + \sum\limits_{i=2}^{n} \hat{e}_i$; тогда при должном выборе $C$ имеем $\forall n: \| x_n \| \leq 1$.
Однако $T x_n = (n-1) \hat e_2 + \sum\limits_{i=3}^{n+1} \hat e_i = -2 (n-1) e_1 + \sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac {C} {i^2} e_i$, откуда все понятно.

Тогда остается вопрос - а как же дорешивать исходную задачу, если такая наивная конструкция не срабатывает?

[AGu]

id в сообщении #390931 писал(а):

[...] Строим линейный оператор $T$ такой, что $T(e_i) = e_{i+1}, i \geq 1$ [...]

Наблюдается попытка изоморфно отобразить $X$ на гиперплоскость в $X$.
Кажется, что это возможно для любого бесконечномерного БП $X$.
Самому Банаху это казалось возможным.
И более 50 лет это всем казалось возможным.
Но в 1993 году William Timothy Gowers (филдсовский медалист 1998 года)
привел пример беконечномерного БП $X$, для которого это невозможно.
Более того, его $X$ не изоморфно никакому своему подпространству,
кроме самого $X$. Очень весело.

[id]

AGu
Занятно.
А какое "простое решение" тогда имел ввиду автор?

[moscwicz]

ответ уже был дан

Юстас в сообщении #387611 писал(а):

Вы имели в виду, что достаточно рассмотреть компактный оператор, спектр которого не содержит 0?

[id]

Цитата:

достаточно рассмотреть компактный оператор, спектр которого не содержит 0?

Почему, кстати, он существует? Ведь спектр компактного оператора в бесконечномерном пространстве содержит $0$ всегда.

[moscwicz]

Да это я прозевал, про спектр это слишком. Нужно искать компактный инъективный оператор. Я это умею делать только в сепарабельном рефлексивном (может рефлексивность не нужна, а тогда нужна сепарабельность сопряженного пространства, надо подумать) банаховом пространстве $X$.
Делается это так. Пусть $\{e_k'\}$ -- счетная плотная система в $X',\quad \|e_k'\|'=1.$ Система векторов $\{e_k\}\subset X$ такова, что $(e_i,e_j')=\delta_{ij},\quad \|e_i\|=1$
Зададим оператор $A:X\to X$ формулой $Ax=\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}(x,e'_k)e_k$.
Этот оператор компактен и $\ker A=\{0\}$.

[id]

Где нужна рефлексивность, пока что не вижу.
Есть кстати результат, что если сопряженное пространство сепарабельно, то и исходное тоже.

[moscwicz]

если нет рефлексивности то непонятно откуда $e_k$ брать

[id]

moscwicz
А если есть - то как именно выполняется построение, обеспечивающее то, что при $i \neq j \ \ e_j'(e_i) = 0$?
Да, рефлексивность даёт то, что норма достигается.

[moscwicz]

id в сообщении #395482 писал(а):

А если есть - то как именно выполняется построение, обеспечивающее то, что при $i \neq j \ \ e_j'(e_i) = 0$?

мы строим линейный функционал на $X'$ который на $e_j'$ равен 1 , на всех остальных векторах-- 0. Поскольку этот функционал является элементом $X''$, ему по изоморфизму соответствует вектор из $X$, это и есть вектор $e_j$.

-- Wed Jan 05, 2011 10:39:49 --

id в сообщении #395482 писал(а):

Да, рефлексивность даёт то, что норма достигается.

это не понял

[id]

Цитата:

это не понял

Сначала в посте шла система функционалов $\{ e_i' \}$ единичной нормы, а только потом система единичных векторов исходного пространства, на которых норма достигается. Я и подумал, что вектора строятся по функционалам.

Ибо есть теорема о том, что в рефлексивном пр-ве функционал достигает нормы.

Цитата:

мы строим линейный функционал на $X'$ который на $e_j'$ равен 1 , на всех остальных векторах-- 0

А почему он существует?
Конечно, если $ E$ есть замкнутое подпространство нормированного пространства $X$, $x \notin E$ есть вектор из $X$, то можно построить огр. функционал $f \in X^*$ аннулирующийся на $E$ такой, что $f(x) = 1$.
Но ведь замыкание $\mathrm{span} \{e_i ': i \neq j\}$ может совпадать со всем пространством.