Какие три функции координат образуют векторное поле?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемый Munin!

Вы в сообщении #379567 писал(а):

Мдя

Как это следует понимать по отношению к позиции Лойцянского? Или м-ДА или, м-НЕ поддерживаю?

С уважением, Александр Козачок

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #379798 писал(а):

Как это следует понимать по отношению к позиции Лойцянского?

Это следует понимать, что заранее было понятно, что вы выдумываете глупости на пустом месте, но оказалось, что эти глупости не там, где изначально предполагал Someone.

У Лойцянского нет "позиции". У него есть учебник. Пока вы ни черта не смыслите в элементарных вещах, вам следует забыть про позиции, и зубрить матчасть. И по Лойцянскому, и по другим учебникам. И не думайте, что здесь вам будут всё разжёвывать и кормить с ложечки. Это не работа, водить за ручку неучей, это хобби, и занимаются им с перспективными неучами, а не с занудами, которые вместо благодарности стараются поддеть.

Контрольный вопрос. Пусть у вас на плоскости заданы две декартовых системы координат, ориентированных одинаково, точки начала координат совпадают, а оси второй системы координат повёрнуты относительно осей первой системы координат на угол $\varphi.$ Как выглядят матрицы преобразования координат для точек, заданных на плоскости, и для векторов, отложенных от начала координат? Чему равны определители этих матриц?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Someone в сообщении #379699 писал(а):

...утверждение Лойцянского, что "не всякие три функции координат $a_i(x_1,x_2,x_3)$ образуют векторное поле", является чушью. Уж если мы объявили некие три функции компонентами векторного поля...

Изложение теории векторного поля обычно начинают с рассмотрения его важнейшей характеристики – векторных линий, которые определяются из дифференциальных уравнений, содержащих в качестве компонент вектора именно эти три функции (с обозначениями$\[ a_x = a_1 ,a_y = a_2 ,a_z = a_3 \] ) \[ \frac{{dx}} {{a_x }} = \frac{{dy}} {{a_y }} = \frac{{dz}} {{a_z }} = d\varsigma \]$

В таком виде, но с другими обозначениями, эти уравнения записаны в учебнике Седова (стр. 41, 1970 г.), и без скалярного параметра $\[ d\varsigma \]$ у Лойцянского (стр. 57, 1970 г.).
В этой связи не кажется ли Вам, что эти три функции все-таки не могут задаваться произвольно, поскольку взаимосвязаны и должны удовлетворять данные дифференциальные уравнения?

Munin в сообщении #379825 писал(а):

...вместо благодарности стараются поддеть.

Простите меня великодушно! У меня даже в мыслях не было такого намерения, поскольку мне было приятно, что такой авторитетный оппонент Форума впервые за четыре года заглянул в мою тему и, я в этом не сомневался, аргументированно изложит свою позицию по затронутой проблеме. А шутливый тон моего вопроса, который почему-то обидел Вас, мне кажется в чем-то соответствует Вашему, как мне показалось, шутливому комментарию. Если посмотрите мой профиль, то убедитесь, что по возрасту я, вероятно, Вам в отцы гожусь. Поэтому в искренности моих слов можете не сомневаться.

С уважением, Александр Козачок

[CowboyHugges]

Александр Козачок в сообщении #379927 писал(а):

В этой связи не кажется ли Вам, что эти три функции все-таки не могут задаваться произвольно, поскольку взаимосвязаны и должны удовлетворять данные дифференциальные уравнения?

Не кажется. Берем произвольное векторное поле и строим по ним эту векторную линию, если поле не вырождено и компоненты дифференцируемы, то линия тока существует: или вы сможете привести такое невырожденное поле для которого построить векторную линию невозможно?

А "обычно начинают" - это очень не верно, во многих курсах про эту векторную линию вообще не вспоминают. А если компоненты векторного поля у вас суммируемые, то какая векторная линия будет? Всё это какое-то мозгоклюйство - искать в монографиях 50 летней давности какие-то откровения, легче в архаичных обозначениях и формулировках запутаться.

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #379927 писал(а):

Изложение теории векторного поля обычно начинают с рассмотрения его важнейшей характеристики – векторных линий

Это только в каких-то очень неудачных учебниках, предназначенных для людей без высшего образования. Обратитесь к другим учебникам.

Александр Козачок в сообщении #379927 писал(а):

В этой связи не кажется ли Вам, что эти три функции все-таки не могут задаваться произвольно, поскольку взаимосвязаны и должны удовлетворять данные дифференциальные уравнения?

Здесь нет никакой наложенной на эти функции связи, а дифференциальное уравнение удовлетворяется вычислением линии (и параметра $\sigma,$ или $\zeta,$ не знаю, как там было обозначено, обычно параметр обозначают $p$ или $l$).

Александр Козачок в сообщении #379927 писал(а):

Простите меня великодушно!

С радостью, только на вопрос ответьте. И ещё на один: каковы решения дифференциального уравнения $dx/x^2=dy/x^3$?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

CowboyHugges в сообщении #379943 писал(а):

Александр Козачок в сообщении #379927 писал(а):

В этой связи не кажется ли Вам, что эти три функции все-таки не могут задаваться произвольно, поскольку взаимосвязаны и должны удовлетворять данные дифференциальные уравнения?

Не кажется. Берем произвольное векторное поле и строим по ним эту векторную линию,

Munin в сообщении #379970 писал(а):

Здесь нет никакой наложенной на эти функции связи, а дифференциальное уравнение удовлетворяется вычислением линии (и параметра $\sigma,$ или $\zeta,$ не знаю, как там было обозначено, обычно параметр обозначают $p$ или $l$).

Поскольку Вы упомянули о вычислении параметра, то уравнения векторных линий с компонентами $\[ \dot u_i = \dot u_i (x,y,z) \]$

$\[ \frac{{dx}} {{\dot u_x }} = \frac{{dy}} {{\dot u_y }} = \frac{{dz}} {{\dot u_z }} = d\varsigma \]$
вероятно, можно представить и в такой записи

\[ \begin{gathered} \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_x }}} dx + C_x \Rightarrow \varsigma = F_x (x,y,z), \hfill \\ \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_y }}} dy + C_y \Rightarrow \varsigma = F_y (x,y,z), \hfill \\ \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_z }}} dz + C_z \Rightarrow \varsigma = F_z (x,y,z). \hfill \\ \end{gathered} \]

Три выражения для

\[ \varsigma = F_i (x,y,z) \]

можно рассматривать, как алгебраическую систему уравнений с тремя неизвестными

\[ x,y,z \]

В результате решения такой системы получим

\[ x = x(\varsigma ),_{} y = y(\varsigma ),_{} z = z(\varsigma ) \]

После подстановки этих выражений в выражения предполагаемых компонент

\[ \dot u_i = \dot u_i (x,y,z) \]

получим те же компоненты в виде функций одной вспомогательной переменной

\[ \dot u_i = \dot u_i (\varsigma ) \]

Таким образом общее требование к трем функциям, которые должны образовать векторное поле – это возможность их представления в виде функций одной и той же вспомогательной переменной, являющейся скалярным параметром дифференциального уравнения векторных линий.

Чтобы не загромождать это сообщение, другие замечания я пока не комментирую.

С уважением, Александр Козачок

[Munin]

Простите, это сообщение целиком бред.

Будьте добры, скажите аудитории, что такое линия в пространстве, заданная в параметрическом виде. С формулами.

[CowboyHugges]

Александр Козачок в сообщении #380314 писал(а):

вероятно, можно представить и в такой записи
\[ \begin{gathered} \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_x }}} dx + C_x \Rightarrow \varsigma = F_x (x,y,z), \hfill \\ \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_y }}} dy + C_y \Rightarrow \varsigma = F_y (x,y,z), \hfill \\ \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_z }}} dz + C_z \Rightarrow \varsigma = F_z (x,y,z). \hfill \\ \end{gathered} \]

А мне кажется, что нельзя. Докажите строго математически это ваше "вероятно". Что-то я сильно сомневаюсь, что это $d\varsigma$ - это обычный дифференциал в стандартном математическом смысле и что его можно так лихо интегрировать.

ЗЫ: Посмотрел Седова - ничего подобного он не делает, так что это ваши размышления - вам их и доказывать. И ещё, насколько я помню конечным вашим результатом должно стать преобразование системы Навье-Стокса. Поэтому вам нужен уровень строгости гораздо выше, чем у Седова, Лойцянского, Гольдштейна или какого-нибудь Жермена, иначе математики вам просто не поверят, в чем вы по-моему уже могли убедиться.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Прошло достаточно много времени после предыдущего сообщения, и, по-видимому, новых аргументированных возражений ожидать уже не следует.
Как видите, доказательство того, что не всякие три функции координат образуют векторное поле, совершенно элементарное. Но есть и еще проще. Его мог знать Лойцянский и, быть может, в силу недостаточной наукоемкости не посчитал нужным приводить в своем учебнике. Ведь обратите внимание, если попарно приравнять выражения для$\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$ в виде интегралов, то, вероятно, при совершенно произвольных подынтегральных выражениях такое равенство обеспечить нельзя. К тому же в гидродинамике хорошо известен подход к решению различных задач, когда компоненты вектора скорости выражаются в виде функции одной переменной, которая называется функцией тока. Поэтому, возможно, Лойцянский привел другие, на его взгляд более наукоемкие, доводы.
Вероятно, многие эаметили, что установленное требование к компонентам вектора при конструировании, например, начального векторного поля или при подборе решения для конкретной задачи реализовать не просто. Поэтому попытаемся определить, а какие же более подходящие следствия вытекают из этого требования. Заметим, что это требование справедливо и в случае, когда в выражениях компонент в качестве параметра присутствует время t. Для этого можно воспользоваться известной формулой для частной производной сложной функции, заданной «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной

$\[ \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}} {{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }} {{\partial x_i }},(x_i = x,y,z) \]$

После преобразования этих формул получены соотношения, которым должны удовлетворять компоненты сложной вектор-функции, зависящей от одного вспомогательного аргумента

$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]$

С подробнейшим выводом и обсуждением этих соотношений можно познакомиться в сообщениях по теме MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
За период 16.08-18.08 2008. По поводу корретности вывода соотношений

shwedka в сообщении #139320 писал(а):

все совершенно верно, конечно, при выполнении условия

Цитата:

причем функция $\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$- одна и та же для всех компонент..

Вы, конечно, это условие помните, это я так, для своей и читательской памяти повторяю.

В ту пору трудно было даже предположить, что доказательство возможности представления вектор-функции в виде функции одной вспомогательной переменной окажется лишь надводной частью айсберга. К подводной части мы лишь слегка уже прикоснулись. Поэтому только сейчас я могу аргументировано прокомментировать вот это обезоруживающее возражение

Vallav в сообщении #378394 писал(а):

Если У Вас есть возражения против того, что любые три функции координат образуют векторное поле - приведите опровергающий пример….

Как видите из приведенных выше соотношений, таких примеров может быть много. Все функции, которые не соответствуют этим соотношениям, не позволяют создать векторное поле. Так, например, бездивергентное $\[ \operatorname{div} \dot \vec u = 0 \] $ безвихревое $\[ \operatorname{rot} \dot \vec u = 0 \]$ поле с компонентами $\[ x,y, - 2z \]$по сути дела не является векторным. Этот вывод относится и к другим полям такого же типа, известных из учебников под названием «лапласово векторное поле».

Важное замечание. Векторные уравнения, записанные в покомпонентной форме ничем (кроме символов) не отличаются от системы обычных уравнений с неизвестными, не являющимися компонентами вектора. Поэтому, чтобы иметь право оставить форму записи уравнений неизменной при изменении ориентации системы координат, мы должны наложить какие-то ограничения на содержащиеся в уравнениях величины. Без учета этих особенностей при задании формы, в которой ищется решение, в конечном итоге можем получить ложный результат, пригодный только для системы обычных уравнений, но неприемлемый для идентичных уравнений с неизвестными в виде компонент вектора.
Если я чего-то не учитываю, прошу профессионалов Форума указать на пробелы в построении этого вывода.
Упомянутое выше представляет собой попутные проблемы, имеющие самостоятельное значение. К числу таких попутных проблем можно отнести и эту:

CowboyHugges в сообщении #380399 писал(а):

Докажите строго математически это ваше "вероятно". Что-то я сильно сомневаюсь, что это $\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$ - это обычный дифференциал в стандартном математическом смысле и что его можно так лихо интегрировать.

Интегрировать можно, если подынтегральное выражение это позволяет. Но чаще всего эти три формулы представляют собой систему интегральных или даже интегро-дифференциальных уравнений. Однако, такое интегрирование в данном случае нам не требуется. Нам эта запись нужна для вывода, что $\[ \varsigma = F_i (x,y,z,\bar t) \]$. К тому же, я снова лишний раз хочу обратить внимание на другой важный вывод, который можно сделать в результате сравнения этих интегралов. Если попарно приравнять выражения для $\[ \varsigma \]$ , то при совершенно произвольных подынтегральных выражениях такое равенство обеспечить, вероятно, нельзя. А что касается представления компонент вектора в виде функции одной переменной, то в таком доказательстве нет особой необходимости

Александр Козачок в сообщении #384874 писал(а):

Приведенное… доказательство может быть заменено (или дополнено) альтернативным со ссылкой на признанные источники…

CowboyHugges в сообщении #380399 писал(а):

...насколько я помню конечным вашим результатом должно стать преобразование системы Навье-Стокса. Поэтому вам нужен уровень строгости гораздо выше, чем у Седова, Лойцянского, Гольдштейна или какого-нибудь Жермена, иначе математики вам просто не поверят, в чем вы по-моему уже могли убедиться.

Вы правы. Но когда я думаю об этом, мне почему-то припоминается высказывание Ландау: «Я считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т.п.»

Вот поэтому я еще раз убедительно прошу Участников Форума в первую очередь акцентировать внимание на пробелы в физической достоверности выводов и во вторую - на строгость математического доказательства в предыдущем моем сообщении.
Целесообразность такого похода к обсуждению подсказывает сформулированный выше вывод, что лапласово векторное поле на самом деле векторным не является. В строгости вошедших в учебники классических доказательств по поводу этого поля, вероятно, мало кто сомневался. А если и сомневался, то на эти сомнения никто не обращал внимания.

С уважением и благодарностью всем, принявшим участие в дискуссии, Александр Козачок

[Vallav]

Александр Козачок в сообщении #387371 писал(а):

Все функции, которые не соответствуют этим соотношениям, не позволяют создать векторное поле. Так, например, бездивергентное $\[ \operatorname{div} \dot \vec u = 0 \] $ безвихревое $\[ \operatorname{rot} \dot \vec u = 0 \]$ поле с компонентами $\[ x,y, - 2z \]$по сути дела не является векторным. Этот вывод относится и к другим полям такого же типа, известных из учебников под названием «лапласово векторное поле».

В каждой точке (x,у,z) задан вектор? Задан.
Это и называется векторным полем.
А что такое "векторное поле по сути" - Вы не определили.
Определите, тогда и будем выяснять, является ли данное векторное поле
векторным полем по сути.

[Александр Козачок]

Vallav в сообщении #387390 писал(а):

В каждой точке (x,у,z) задан вектор? Задан.

Задан не вектор, а три функции при заданной ориентации системы координат. Вот эти три функции, как аксиому, и объявили компонентами вектора.

Цитата:

Это и называется векторным полем.

Если руководствоваться информацией из многих учебников ( пока кроме цитированного выше учебника Лойцянского), то Ваше утверждение, возможно, и соответствует действительности.

Цитата:

А что такое "векторное поле по сути" - Вы не определили.
Определите, тогда и будем выяснять, является ли данное векторное поле
векторным полем по сути.

Три функции, выбранные для формирования векторного поля, не должны противоречить приведенным выше соотношениям.

С уважением, Александр Козачок

[Vallav]

Александр Козачок в сообщении #387642 писал(а):

Vallav в сообщении #387390 писал(а):

В каждой точке (x,у,z) задан вектор? Задан.

Задан не вектор, а три функции при заданной ориентации системы координат. Вот эти три функции, как аксиому, и объявили компонентами вектора.

Так объявить три функции компонентами вектора в заданной системе координат и означает - задать векторное поле.

Александр Козачок в сообщении #387642 писал(а):

Цитата:

А что такое "векторное поле по сути" - Вы не определили.
Определите, тогда и будем выяснять, является ли данное векторное поле
векторным полем по сути.

Три функции, выбранные для формирования векторного поля, не должны противоречить приведенным выше соотношениям.

У Вас там много чего было.
Вы можете собрать это все в виде определения:
Векторным полем по сути называется такое векторное поле, которое уловлетворяет следующим условиям...

[Александр Козачок]

Vallav в сообщении #387649 писал(а):

Так объявить три функции компонентами вектора в заданной системе координат и означает - задать векторное поле.

По поводу этого утверждения

Александр Козачок уже в сообщении #387642 писал(а):

Если руководствоваться информацией из многих учебников ( пока кроме цитированного выше учебника Лойцянского), то Ваше утверждение, возможно, и соответствует действительности.

Vallav в сообщении #387649 писал(а):

У Вас там много чего было.
Вы можете собрать это все в виде определения:
Векторным полем по сути называется такое векторное поле, которое уловлетворяет следующим условиям...

Для формулирования корректного определения требуется кропотливая работа профессионалов по многим направлениям теории поля. Для начала такой работы, мне кажется, я сформулировал основу

Александр Козачок в сообщении #387642 писал(а):

После преобразования этих формул получены соотношения, которым должны удовлетворять компоненты сложной вектор-функции, зависящей от одного вспомогательного аргумента

$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]$

С подробнейшим выводом и обсуждением этих соотношений можно познакомиться в сообщениях по теме MILLENNIUM PRIZE PROBLEM…

Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #387681 писал(а):

Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.

Итак, Вы убежали из математического форума в физический, не ответив на мои вопросы. И не удивительно. Как совершенно правильно отметил PAV, Вы щедры на громогласные заявления, разрушающие основы наук, но четкого определения или формулировки от Вас НИКОГДА не добьешься. И я устала Вам объяснять, что все Ваши 'доказательства' ничего не доказывают, поскольку нет точных формулировок. Повторяю: Вы ничего не доказали.

Теперь, после этого вступления вернусь к теме. Здесь Вы замечательно, но для себя типично, прочитали одну строчку у классика, но поленились разобраться в соседних строчках. Вы уже неоднократно на таком выборочном прочтении попадались. Дело в том, что у Лойцянского, если прочитать не только эту строчку, но и текст вокруг, написано совершенно правильно и точно.

В разных разделах математики используются два понятия вектор-функции.

Определение-1. Вектор-функция. (используется в классическом анализе, дифф. уравнениях...) Набор $m$ функций аргумента $x$ в области $d$-мерного Евклидова пространства или $d$-мерного многообразия называется $m$-мерной вектор-функцией или (иногда, когда недоразумения исключены) векторным полем (-1).

Конец определения. Никаких ограничений. Не требуется каких-либо соотношений между размерностями $m$ и $d$. Любые $m$ фукций с общей областью задания образуют вектор- функцию.

Определение-2 Векторное поле.(используется в дифференциальной геометрии, механикесплошной среды, глобальном анализе) (не буду, для простоты, рассматривать произвольные многообразия) Пусть в области $d$-мерного Евклидова пространства для каждого ортогонального базиса $\mathbf{b}$ задана $d$-мерная вектор-функция $a(x,\mathbf{b})$. Пусть при этом значения $a(x,\mathbf{b}_1)$, $a(x,\mathbf{b}_2)$ в одной точке $x$ и разных базисах связаны соотношением

$$a(x,\mathbf{b}_1)=U(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2)a(x,\mathbf{b}_2) \ \ (*)$$

где $U(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2)$ - ортогональная матрица, связывающая два базиса.
Тогда говорим, что задано векторное поле (-2).

Итак, здесь, во-первых, размерность пространства и функции должны быть равны друг другу, и, во-вторых, обязательно задание не просто нескольких скалярных функций, но скалярных функций для каждого базиса.

Я здесь несколько
упрощаю, поскольку совсем правильное (более длинное) определение включает не только выбор базиса, но и более общие замены переменных. Но и этого для Вас хватит.

Связь между определениями.
1. Векторному полю - 1, при условии $m=d $, можно единственным образом сопоsтавить векторное поле-2, задав его для всех базисов, кроме исходного, формулой (*).
В этом смысле,
Любые $d$ скалярных функций аргумента $x$ задают векторное поле.
2. Если мы сопоставили вектор-функцию каждому базису (или, хотя бы, некоторым), но так, что (*) нарушается, то получившаяся вектор-функция $a(x,\mathbf{b})$ векторным полем, в соответствии с определением, не является. В этом смысле, несколько (нужное количество) скалярных функций, зависящих от точки И БАЗИСА не обязательно задают векторное поле. Нужно выполнение правила изменения базиса.


Если бы Вы, Александр Козачок, внимательно прочитали написанное у Лойцянского, то поняли бы, что именно об этой ситуации у него речь идет. Векторное поле должно 'правильно' преобразовываться.

3. В тех случаях, когда для конкретной задачи достаточно проводить все рассмотрения в фиксированном базисе, то зависимость от базиса не отмечается в обозначениях. При этом всегда подразумевается, что все величины, записанные в фиксированном базисе, задаются в других базисах с помощью соотношению (*)

Таким, образом, никаких скрытых соотношений, типа зануления дивергенции здесь нет. Последнее- Ваше личное беспомощное сочинение.
И, повторяю в заключение, Не притворяйтесь, что Вы что-то доказали. Без точной формулировки доказательство отсутствует.

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #380314 писал(а):

Поскольку Вы упомянули о вычислении параметра, то уравнения векторных линий с компонентами $\[ \dot u_i = \dot u_i (x,y,z) \]$

$\[ \frac{{dx}} {{\dot u_x }} = \frac{{dy}} {{\dot u_y }} = \frac{{dz}} {{\dot u_z }} = d\varsigma \]$
вероятно, можно представить и в такой записи
\[ \begin{gathered} \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_x }}} dx + C_x \Rightarrow \varsigma = F_x (x,y,z), \hfill \\ \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_y }}} dy + C_y \Rightarrow \varsigma = F_y (x,y,z), \hfill \\ \varsigma = \int {\frac{1} {{\dot u_z }}} dz + C_z \Rightarrow \varsigma = F_z (x,y,z). \hfill \\ \end{gathered} \]

Теперь об этой Вашей новации. Конечно, Вы здесь написали чуть более уклончиво,
'вероятно, можно представить', но потом, как всегда безапелляционно, рушите устои и призываете общественность к переписыванию базовых текстов.

К Вашему сожалению, немалого труда потребовалось бы, чтобы по заказу вместить в столь мало формул столь много несуразиц, сколько удалось Вам, с небывалой легкостью.

Дело в том, возможно, Вы не знаете, но знать полезно, что для функций многих переменных значок дифференциала может обозначать много различных вещей, потому нужно все время помнить, в каком именно смысле этот значок в конкретном рассуждении применяется, и, уж ни в коем случае, не менять этот смысл в ходе рассуждения. Конечно, Вас я здесь ничему не научу, при ВАшей патологической неспособности к точным формылировкам, но для других читателей может оказаться поучительно, в особенности, с учетом распространенности сделанной ошибки.

Итак, вы написали
$\frac{{dx}} {{\dot u_x }} = \frac{{dy}} {{\dot u_y }} = \frac{{dz}} {{\dot u_z }} = d\varsigma $

Это не слишком культурная запись правильного выражения
$\frac {dx_j}{d\varsigma}=u_j, j=1,2,3$
(не буду я писать Ваши идиотские точки)

Так записанные уравнения означают в точности, что производные от координат по параметру на кривой равны $u_j$
Понатие производной по направлению определено. Все легально.

С некоторым скрипом можно написать
${dx_j}=u_j{d\varsigma}$
Скрип состоит в том, что нужно говорить много слов о смысле значков.
Правильные слова
${dx_j}$ - дифференциалы переменных вдоль кривой,
${d\varsigma}$дифференциал параметра на кривой.

Начиная с этого места,
${dx_j}$ - дифференциалы переменных вдоль кривой,
и ни под каким видом нельзя придавать этому символу имное значение, даже если хочется.

Несколько хуже написать, как Вы хотите,

$d\varsigma = \frac{dx_j}{u_j}$
потому, что вполне может оказаться, что на ноль придется делить.
Но с точностью до этого, тоже терпимо,
пока не забывать, не скрывать, что, как написано выше,
${dx_j}$ - дифференциалы переменных вдоль кривой
и ничто другое!
А хуже еще тем, что правильный смысл забыть (скрыть) легче.

Ну, а теперь эти интегралы.
Их написание основано на недоразумении, что
$\frac{\partial\varsigma}{\partial x_j}= {u_j}^{-1}$
что, вроде, получается элементарным делением из последней формулы.
Недоразумение состоит в тайной подмене смысла значка дифференциала.
Если, до сих пор, повторяю,
${dx_j}$ - дифференциалы переменных вдоль кривой
и ничто другое,
то в новой формуле это стало сильно другим, именно, по определению частной производной
(Александр Козачок, страдалец, опять определение, как претит Вашему организму!)
здесь $\partial x_j$ дифференциал переменной $x_j$ при условии, что все остальные переменные зафиксированы , то есть точно уж не вдоль кривой, где все переменные связаны,
а $\partial\varsigma$- это дифференциал переменной $\varsigma$, отвечающий именно такому изменению переменных $x_j$ : одна из них меняется, а остальные зафиксированы, то есть опять же не вдоль кривой.

К сожалению, такая подмена весьма распространена, но это не делает ее н капли обоснованной.
Естественно, и интегрировать после этого нельзя. Уж не буду говорить о бессмысленности такой записи интегралов: в случае многих переменных, таким интегралам можно ООООчень много разных смыслов придать, посему без подробных обозначений и словесных пояснений их вообще писать нельзя, тем более, их чему-то приравнивать, а еще тем более на их основе устраивать перевороты в науке.

Александр Козачок,
прочитайте мою подпись и посчитайте, в применении к себе.