Римановы вложения

[Утундрий]

Munin в сообщении #382782 писал(а):

Меня смущает, что в Шварцшильде расстояние до сингулярности конечно (и времениподобно), а тут чего-то так не получается.

Оно, видите ли, не может не получаться. Однако, изложите ход мысли, будем разбираться.

[Алия87]

Очень похоже на диаграмму Крускула (пространство-время ЧД) , но только не на 2D плоскости Евклида, а в 3D пространстве Евклида.
Утундрий, Вы не могли бы немного подробней с самого начала описать, как для троечников. Но не вложение четырёхмерного Римана в пятимерного Евклида, а с самого начала, как двухмерного Римана в трёхмерного Евклида. Потому что на рисунке, как я понимаю, это показано. И есть ли связь здесь с диаграммами Крускала? Сингулярности не видно, наверное, надо что-то с масштабами делать. Вы строили параметрически в 3D, написали бы коды? Я в 3D не рисовала, мне кажется там очень сложно рисовать.

[Munin]

Утундрий в сообщении #383714 писал(а):

Оно, видите ли, не может не получаться.

Мне хочется не веровать, а посчитать.

Утундрий в сообщении #383714 писал(а):

Однако, изложите ход мысли, будем разбираться.

Дык ещё раз, подставляем вместо $h(r)$ $\ln(r),$ и получаем

$$\int\limits_0^{r_1}\sqrt{1+h'(r)^2\,}\,dr=\infty.$$

[Утундрий]

Алия87 в сообщении #383726 писал(а):

четырёхмерного Римана в пятимерного Евклида

Вообще-то, четырехмерного псевдоримана в шестимерного псевдоевклида.

С картинкой пока дальше не разбирался, там чисто оформительские трудности: поверхность асимптотически на гиперболические цилиндры выходит, на те самые внешние "вселенные" (кстати, тут непосредственно глазами визуально видно, что их таки две), и это малевалке почему-то не нравится - бахрома какая-то... Ну да и пёс с ней...

Теперь еще раз и сначала. Зафиксируем полярные углы и рассмотрим только три координаты объемлющего псевдоевклидова пространства $(y_0,y_1,y_2)$ с интервалом $y_0^2 - y_1^2 - y_2^2$. Зададим в нем двумерную поверхность уравнением $y_2 = h\left( {r\left( {y_0,y_1} \right)} \right)$, где $\[r = \frac{{32m^3 }}{{16m^2 + y_0^2 - y_1^2 }}\]$, а $h$ в иллюстративных целях можно взять равным $\[2\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\]$ (это выражение не сильно уклоняется от точного выражения и обладает правильными асимптотиками).

Вы, Munin, кажется хотели посчитать? Посчитайте, пожалуйста, метрику на этой поверхности, оставляя произвольной функцию $h$, но используя выражение для $r$. Криволинейные координаты, понятно, $y_0$ и $y_1$.

[Munin]

Утундрий
Так теперь $h(r),$ оказывается, не $\sim\ln r,$ а $\sim r^{-1/2}$? Впрочем, длина гиперболы тоже бесконечность.

Подсчитать - попытаюсь...

[Утундрий]

Munin в сообщении #384019 писал(а):

Так теперь, оказывается...

Там не зря было словечко "качественно"...

Munin в сообщении #384019 писал(а):

Подсчитать - попытаюсь...

Я подскажу, считать нужно $dy_0^2-dy_1^2-dy_2^2=...$

[Munin]

Утундрий в сообщении #384034 писал(а):

Там не зря было словечко "качественно"...

Я его и воспринял, как "качественно логарифм". Это же совсем другое, чем "качественно обратный корень". Ну нельзя же так. Чем это вообще отличается от "качественно уходит в бесконечность"?

[Утундрий]

Munin
Качественно, значит - на глаз похоже. Ассимптотики не гарантируются, только общие закономерности, такие как: стремление в бесконечности к бесконечности, в нуле - к минус бесконечности, монотонность, выпуклость вверх. Обратный корень, кстати, первому условию не удовлетворяет.

-- Пн дек 06, 2010 00:26:55 --

Алия87 в сообщении #383726 писал(а):

И есть ли связь здесь с диаграммами Крускала? Сингулярности не видно, наверное, надо что-то с масштабами делать.

Да: $y_0$, $y_1$ поджатые координаты Крускала. Так, что предельная линия перенесена с пространственноподобной, на времениподобную гиперболу. Сингулярность же ускакала в бесконечность, так что подбор масштабов тут не поможет.

[Munin]

Утундрий в сообщении #384075 писал(а):

Качественно, значит - на глаз похоже.

Ну а зачем вообще было упоминать логарифм, я не понимаю?

[Утундрий]

Munin в сообщении #384098 писал(а):

Ну а зачем вообще было упоминать логарифм, я не понимаю?

Похож.

P.S. Теряем время...