2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение02.12.2010, 22:54 


06/12/06
347
Munin в сообщении #382823 писал(а):
Александр Т. в сообщении #382818 писал(а):
Во многих книгах по механике

Будьте добры конкретные названия, не меньше трёх.

Я с тихой радостью уже собрался найти такие три книги.

(И что из этого вышло.)

Ну, думаю, ссылку на одну из них уже любезно предоставил Bulinator. Вторая, про которую я точно помню, что там это есть — это Матвеев (стр. 64), ну, а третья пусть будет Хайкин. Перехожу в последней книге на стр. 46, смотрю на формулу (2.27) и с ужасом осознаю, что спор-то этот я вчистую проиграл. Ведь там используется не буква $\varphi$, а $\alpha$. А у Матвеева используется не $\vec{d\varphi}$, а $d\boldsymbol{\varphi}$ (см. формулу (9.3) на стр. 65), а у Ландавшица вместо $d$ используется $\delta$. И с кем это я задумал спорить.

Так что считаю целесообразным признать, что найти не то что три, а хотя бы одну книгу, где было бы использовано именно обозначение $\vec{d\varphi}$ мне вряд ли удастся.

Но я могу назвать Вам три книги, в которых вектор дифференциала от угла вводится совсем не так, как его ввел Bulinator. Первую назвал сам Bulinator, вторая — это Матвеев (см. стр. 64 и формулу (9.3) на стр. 65), третья — это Хайкин (см. формулу (2.27) на стр. 46).

А Вы не могли бы ответить на вопрос, который я Вам задал в сообщении #382818
Цитата:
Вы считаете, что здесь это неверно?
На всякий случай я сформулирую этот вопрос по-другому.

Как Вы считаете, существует ли такая векторная функция $\vec\varphi$ такая, что для нее $d\vec{\varphi}$ представляет собой именно то, что имел в виду Bulinator?

 Профиль  
                  
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение03.12.2010, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Александр Т. в сообщении #382947 писал(а):
И с кем это я задумал спорить.

А чем я плох, чтобы со мною спорить? Или вы имели в виду не меня, а авторов книг?

Александр Т. в сообщении #382947 писал(а):
Как Вы считаете, существует ли такая векторная функция $\vec\varphi$ такая, что для нее $d\vec{\varphi}$ представляет собой именно то, что имел в виду Bulinator?

Вспоминая смысл $d$ от векторной функции (в лучшем случае тензор), полагаю, что не существует. А вот скалярная функция, являющаяся координатой криволинейной СК, и дифференциал от которой есть искомый ковектор (в евклидовом пространстве эквивалентный вектору), существует. Вопрос только в том, как его обозначить покрасивше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение03.12.2010, 23:23 


06/12/06
347
Munin в сообщении #382992 писал(а):
Александр Т. в сообщении #382947 писал(а):
Как Вы считаете, существует ли такая векторная функция $\vec\varphi$ такая, что для нее $d\vec{\varphi}$ представляет собой именно то, что имел в виду Bulinator?

Вспоминая смысл $d$ от векторной функции

(Оффтоп)

Цитата:
(в лучшем случае тензор),
Ну это Вы зря. Дифференциал по своему определению (линейная часть разности) по валентности (в смысле тензорного ранга) всегда такой же, что и то, на что он действует. Другое дело, что если под дифференциалом стоит векторная функция векторного аргумента, то этот дифференциал равен свертке некоторого тензора (второго ранга) с дифференциалом от вектора-аргумента.

И еще.
Munin в сообщении #382823 писал(а):
А, так ваши придирки типографские? Извольте, мне эстетически приятнее, когда буковка $d$ курсивная и не несёт никаких акцентов, хотя природа дифференциала и может отличаться от природы поддифференциального объекта.
А я бы все-таки предпочел обозначать дифференциал буквой прямого шрифта, как и любую другую математическую операцию, курсивная буква $d$ при этом освободилась бы для обозначения, например, ширины.

А значок вектора над буквой выгодно отличается от полужирного шрифта (и, тем более, от полужирного прямого). Особенно в обсужаемом экзотическом случае, когда дифференциал некоторого объекта явно выглядит как вектор, а поддифференциальное выражение вектором очевидно не является. Достаточно поставить значок вектора не над поддифференциальным выражением, а над всем дифференциалом, и эта экзотичность будет выразительно отмечена. И, кстати, недаром в Ландавшице, где для обозначения векторов используется прямой полужирный шрифт, в этом случае для подчеркивания его экзотичности вместо $d$ используется $\delta$.

Цитата:
полагаю, что не существует.
Bulinator определил $d\vec\varphi$, как дифферециал от координаты $\varphi$ полярной системы координат, умноженный на вектор, который он считает антикремлевским. В некоторых кругах этот вектор обозначают $\vec{i}_\varphi$. Он имеет вид
$$
\vec{i}_\varphi
=
-
\sin\varphi\vec{i}
+
\cos\varphi\vec{j}
,
$$
где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — орты декартовой системы координат, от которой происходит переход к рассматриваемой полярной системе координат $(r,\varphi)$, т.е. этот вектор зависит только от $\varphi$. Таким образом, в данном случае для $d\vec\varphi$ существует функция $\vec\varphi$, ее можно положить, например, такой
$$
\vec\varphi
=
\cos\varphi\vec{i}
+
\sin\varphi\vec{j}
.
$$
Легко можно проверить, что при этом все сходится.

Отмечу, что при таком определении
$$
\vec\varphi
=
\dfrac{\vec{r}}{r}
,
$$
где $\vec{r}$ — двумерный радиус-вектор, т.е.
$$
\vec{r}
=
r\vec\varphi
,
$$
и дифференциальное тождество, которое привел Bulinator (например, здесь)
$$
d\vec{r}
=
\dfrac{\vec{r}}{r}dr
+
rd\vec\varphi
,
$$
есть результат банального дифференцирования произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение04.12.2010, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):
Дифференциал по своему определению (линейная часть разности) по валентности (в смысле тензорного ранга) всегда такой же, что и то, на что он действует.

Плюс тензорный ранг разности. Поскольку мы сдвигаемся по координате, то получаем плюсодин.

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):
А я бы все-таки предпочел обозначать дифференциал буквой прямого шрифта, как и любую другую математическую операцию

И интеграл, например? А вот я считаю, что шрифтовое разнообразие вредит, особенно когда два шрифта уже задействованы: на числа и векторы. Если хочется выделять операции, придумывайте для них специальные значки. Ещё аргумент: $\partial$ вы не напишете прямым шрифтом, как ни старайтесь.

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):
А значок вектора над буквой выгодно отличается от полужирного шрифта (и, тем более, от полужирного прямого).

Имхо, сейчас это дело вкуса, а вообще стрелочка - убожество для рукописных конспектов, когда нельзя шрифтом что-то чётко выделить. И к слову сказать, шрифт mathbb имеет такое же плачевное происхождение.

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):
Достаточно поставить значок вектора не над поддифференциальным выражением, а над всем дифференциалом

А почему не над буквой $d$?


Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):
Таким образом, в данном случае для $d\vec\varphi$ существует функция $\vec\varphi$,

В каком, простите, смысле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение04.12.2010, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Munin в сообщении #383327 писал(а):
В каком, простите, смысле?

Ну всмысле Александр Т. построил такую функцию, дифференциал от которой равен $d\vec{\varphi}$.
Только зачем это все??

 Профиль  
                  
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение04.12.2010, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Bulinator в сообщении #383333 писал(а):
дифференциал от которой равен

Вот я и спрашиваю, в каком смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение04.12.2010, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Munin в сообщении #383336 писал(а):
Вот я и спрашиваю, в каком смысле.

Я думаю в обычном- матановском
$
\Delta\vec{\varphi}=\vec{\varphi}(x_1)-\vec{\varphi}(x_0)+\vec{o}(|x_1-x_o|)$,

как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Консервативные силы.
Сообщение04.12.2010, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А я пытаюсь судорожно понять, что это за смысл такой. То есть что такую манипуляцию с буковками можно произвести, я догадываюсь, но вот что она значит, не догоняю. В лучшем случае получается всё-таки тензор, "получающий на вход" вектор малого изменения координат. И слова Александр Т. меня только дезориентируют.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group