Консервативные силы.

[Александр Т.]

Munin в сообщении #382823 писал(а):

Александр Т. в сообщении #382818 писал(а):

Во многих книгах по механике

Будьте добры конкретные названия, не меньше трёх.

Я с тихой радостью уже собрался найти такие три книги.

(И что из этого вышло.)

Ну, думаю, ссылку на одну из них уже любезно предоставил Bulinator. Вторая, про которую я точно помню, что там это есть — это Матвеев (стр. 64), ну, а третья пусть будет Хайкин. Перехожу в последней книге на стр. 46, смотрю на формулу (2.27) и с ужасом осознаю, что спор-то этот я вчистую проиграл. Ведь там используется не буква $\varphi$, а $\alpha$. А у Матвеева используется не $\vec{d\varphi}$, а $d\boldsymbol{\varphi}$ (см. формулу (9.3) на стр. 65), а у Ландавшица вместо $d$ используется $\delta$. И с кем это я задумал спорить.

Так что считаю целесообразным признать, что найти не то что три, а хотя бы одну книгу, где было бы использовано именно обозначение $\vec{d\varphi}$ мне вряд ли удастся.

Но я могу назвать Вам три книги, в которых вектор дифференциала от угла вводится совсем не так, как его ввел Bulinator. Первую назвал сам Bulinator, вторая — это Матвеев (см. стр. 64 и формулу (9.3) на стр. 65), третья — это Хайкин (см. формулу (2.27) на стр. 46).

А Вы не могли бы ответить на вопрос, который я Вам задал в сообщении #382818

Цитата:

Вы считаете, что здесь это неверно?

На всякий случай я сформулирую этот вопрос по-другому.

Как Вы считаете, существует ли такая векторная функция $\vec\varphi$ такая, что для нее $d\vec{\varphi}$ представляет собой именно то, что имел в виду Bulinator?

[Munin]

Александр Т. в сообщении #382947 писал(а):

И с кем это я задумал спорить.

А чем я плох, чтобы со мною спорить? Или вы имели в виду не меня, а авторов книг?

Александр Т. в сообщении #382947 писал(а):

Как Вы считаете, существует ли такая векторная функция $\vec\varphi$ такая, что для нее $d\vec{\varphi}$ представляет собой именно то, что имел в виду Bulinator?

Вспоминая смысл $d$ от векторной функции (в лучшем случае тензор), полагаю, что не существует. А вот скалярная функция, являющаяся координатой криволинейной СК, и дифференциал от которой есть искомый ковектор (в евклидовом пространстве эквивалентный вектору), существует. Вопрос только в том, как его обозначить покрасивше.

[Александр Т.]

Munin в сообщении #382992 писал(а):

Александр Т. в сообщении #382947 писал(а):

Как Вы считаете, существует ли такая векторная функция $\vec\varphi$ такая, что для нее $d\vec{\varphi}$ представляет собой именно то, что имел в виду Bulinator?

Вспоминая смысл $d$ от векторной функции

(Оффтоп)

Цитата:

(в лучшем случае тензор),

Ну это Вы зря. Дифференциал по своему определению (линейная часть разности) по валентности (в смысле тензорного ранга) всегда такой же, что и то, на что он действует. Другое дело, что если под дифференциалом стоит векторная функция векторного аргумента, то этот дифференциал равен свертке некоторого тензора (второго ранга) с дифференциалом от вектора-аргумента.

И еще.

Munin в сообщении #382823 писал(а):

А, так ваши придирки типографские? Извольте, мне эстетически приятнее, когда буковка $d$ курсивная и не несёт никаких акцентов, хотя природа дифференциала и может отличаться от природы поддифференциального объекта.

А я бы все-таки предпочел обозначать дифференциал буквой прямого шрифта, как и любую другую математическую операцию, курсивная буква $d$ при этом освободилась бы для обозначения, например, ширины.

А значок вектора над буквой выгодно отличается от полужирного шрифта (и, тем более, от полужирного прямого). Особенно в обсужаемом экзотическом случае, когда дифференциал некоторого объекта явно выглядит как вектор, а поддифференциальное выражение вектором очевидно не является. Достаточно поставить значок вектора не над поддифференциальным выражением, а над всем дифференциалом, и эта экзотичность будет выразительно отмечена. И, кстати, недаром в Ландавшице, где для обозначения векторов используется прямой полужирный шрифт, в этом случае для подчеркивания его экзотичности вместо $d$ используется $\delta$.

Цитата:

полагаю, что не существует.

Bulinator определил $d\vec\varphi$, как дифферециал от координаты $\varphi$ полярной системы координат, умноженный на вектор, который он считает антикремлевским. В некоторых кругах этот вектор обозначают $\vec{i}_\varphi$. Он имеет вид

$$ \vec{i}_\varphi = - \sin\varphi\vec{i} + \cos\varphi\vec{j} , $$

где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — орты декартовой системы координат, от которой происходит переход к рассматриваемой полярной системе координат $(r,\varphi)$, т.е. этот вектор зависит только от $\varphi$. Таким образом, в данном случае для $d\vec\varphi$ существует функция $\vec\varphi$, ее можно положить, например, такой

$$ \vec\varphi = \cos\varphi\vec{i} + \sin\varphi\vec{j} . $$

Легко можно проверить, что при этом все сходится.

Отмечу, что при таком определении

$$ \vec\varphi = \dfrac{\vec{r}}{r} , $$

где $\vec{r}$ — двумерный радиус-вектор, т.е.

$$ \vec{r} = r\vec\varphi , $$

и дифференциальное тождество, которое привел Bulinator (например, здесь)

$$ d\vec{r} = \dfrac{\vec{r}}{r}dr + rd\vec\varphi , $$

есть результат банального дифференцирования произведения.

[Munin]

(Оффтоп)

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):

Дифференциал по своему определению (линейная часть разности) по валентности (в смысле тензорного ранга) всегда такой же, что и то, на что он действует.

Плюс тензорный ранг разности. Поскольку мы сдвигаемся по координате, то получаем плюсодин.

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):

А я бы все-таки предпочел обозначать дифференциал буквой прямого шрифта, как и любую другую математическую операцию

И интеграл, например? А вот я считаю, что шрифтовое разнообразие вредит, особенно когда два шрифта уже задействованы: на числа и векторы. Если хочется выделять операции, придумывайте для них специальные значки. Ещё аргумент: $\partial$ вы не напишете прямым шрифтом, как ни старайтесь.

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):

А значок вектора над буквой выгодно отличается от полужирного шрифта (и, тем более, от полужирного прямого).

Имхо, сейчас это дело вкуса, а вообще стрелочка - убожество для рукописных конспектов, когда нельзя шрифтом что-то чётко выделить. И к слову сказать, шрифт mathbb имеет такое же плачевное происхождение.

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):

Достаточно поставить значок вектора не над поддифференциальным выражением, а над всем дифференциалом

А почему не над буквой $d$?

Александр Т. в сообщении #383317 писал(а):

Таким образом, в данном случае для $d\vec\varphi$ существует функция $\vec\varphi$,

В каком, простите, смысле?

[Bulinator]

Munin в сообщении #383327 писал(а):

В каком, простите, смысле?

Ну всмысле Александр Т. построил такую функцию, дифференциал от которой равен $d\vec{\varphi}$.
Только зачем это все??

[Munin]

Bulinator в сообщении #383333 писал(а):

дифференциал от которой равен

Вот я и спрашиваю, в каком смысле.

[Bulinator]

Munin в сообщении #383336 писал(а):

Вот я и спрашиваю, в каком смысле.

Я думаю в обычном- матановском
$ \Delta\vec{\varphi}=\vec{\varphi}(x_1)-\vec{\varphi}(x_0)+\vec{o}(|x_1-x_o|)$,

как-то так.

[Munin]

А я пытаюсь судорожно понять, что это за смысл такой. То есть что такую манипуляцию с буковками можно произвести, я догадываюсь, но вот что она значит, не догоняю. В лучшем случае получается всё-таки тензор, "получающий на вход" вектор малого изменения координат. И слова Александр Т. меня только дезориентируют.