Равенство множеств

[Виктор Викторов]

Спасибо!

[cognize]

Извините, я не читал тред полностью.

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity).

А откуда такая уверенность, что после подобной замены должно получиться что-то осмысленное? И с чего Вы взяли, что приведенная Вами фраза вообще является высказыванием? Мы вправе в точном языке точно определить с помощью синтаксиса (набор правил, определяющих понятие высказывания в этом языке), какие именно слова (фразы - это тоже слова) считать высказываниями, а какие не считать. Т.е. мы просто можем указать, что фразы подобные Вашим, вообще не рассматривать в качестве высказываний.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity).

cognize в сообщении #381253 писал(а):

А откуда такая уверенность, что после подобной замены должно получиться что-то осмысленное?

Во-первых, фраза принадлежит не мне, а Френкелю. ("Set Theory and Logic" стр. 5). Теперь по сути: множество $D$ равно множеству $F$, но Френкель хочет показать, что это не значит, что $F$ и $D$ одно и тоже множество. Об этом и вся тема.

cognize в сообщении #381253 писал(а):

И с чего Вы взяли, что приведенная Вами фраза вообще является высказыванием?

А с чего Вы взяли, что она не является высказыванием? Это повествовательное предложение и оно истинно или ложно.

cognize в сообщении #381253 писал(а):

Мы вправе в точном языке точно определить с помощью синтаксиса (набор правил, определяющих понятие высказывания в этом языке), какие именно слова (фразы - это тоже слова) считать высказываниями, а какие не считать.

Приведен пример. Вы хотите после этого определить язык, в котором он невозможен?

cognize в сообщении #381253 писал(а):

Т.е. мы просто можем указать, что фразы подобные Вашим, вообще не рассматривать в качестве высказываний.

Или наоборот.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #381261 писал(а):

Во-первых, фраза принадлежит не мне, а Френкелю.

Я не говорил, что она принадлежит Вам.

Виктор Викторов в сообщении #381261 писал(а):

Теперь по сути: множество $D$ равно множеству $F$, но Френкель хочет показать, что это не значит, что $F$ и $D$ одно и тоже множество. Об этом и вся тема.

Да я понял.

Виктор Викторов в сообщении #381261 писал(а):

А с чего Вы взяли, что она не является высказыванием?

Хорошо, допустим это фраза является высказыванием. Тогда определите точно, что значит "известно", чтобы можно было однозначно сказать известно что-либо или нет.

-- Вс ноя 28, 2010 04:09:12 --

Виктор Викторов в сообщении #381261 писал(а):

Это повествовательное предложение и оно истинно или ложно.

Не всякое повествовательное предложение естественного языка истинно либо ложно. Есть куча парадоксов на эту тему.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity).

cognize в сообщении #381264 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #381261 писал(а):

А с чего Вы взяли, что она не является высказыванием?

Хорошо, допустим это фраза является высказыванием. Тогда определите точно, что значит "известно", чтобы можно было однозначно сказать известно что-либо или нет.

А в чём проблема? Имеется в виду, что никто не знал в восемнадцатом веке множество $D$ равно множеству $F$ или нет.

cognize в сообщении #381264 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #381261 писал(а):

Это повествовательное предложение и оно истинно или ложно.

Не всякое повествовательное предложение естественного языка истинно либо ложно. Есть куча парадоксов на эту тему.

А какое отношение это имеет к фразе "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$"? Эта фраза естественного языка повествовательное предложение, которое истинно либо ложно.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #381266 писал(а):

А в чём проблема? Имеется в виду, что никто не знал в восемнадцатом веке множество $D$ равно множеству $F$ или нет.

Проблема в том, что "никто не знал" - это черт пойми что. Как это проверить? Может они не всех опросили. Или представьте, что что-то доказали, и потом все это забыли, или доказательство, допустим, кто-то спрятал, а с остальными не поделился.

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #381267 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #381266 писал(а):

А в чём проблема? Имеется в виду, что никто не знал в восемнадцатом веке множество $D$ равно множеству $F$ или нет.

Проблема в том, что "никто не знал" - это черт пойми что. Как это проверить? Может они не всех опросили. Или представьте, что что-то доказали, и потом все это забыли, или доказательство, допустим, кто-то спрятал, а с остальными не поделился.

К теории множеств Ваше высказывание отношения не имеет.

[cognize]

Понимаете, если эту фразу рассматривать как "в восемнадцатом веке не существовало доказательства, что множество $D$ равно множеству $F$" (это высказывание ложно, потому что оказалось, что доказательство существует, а существование не зависит от "когда"), то никакого абсурда после подстановки не будет.

-- Вс ноя 28, 2010 04:43:05 --

Виктор Викторов в сообщении #381268 писал(а):

К теории множеств Ваше высказывание отношения не имеет.

Мы пока говорим про то, может ли приведенная Вами фраза считаться высказыванием.

-- Вс ноя 28, 2010 04:55:00 --

Ну так что, будет Вами предоставлено точное определение понятия "никто не знал"? Как мне определить верна приведенная Вами фраза или нет?

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #381269 писал(а):

Понимаете, если эту фразу рассматривать как "в восемнадцатом веке не существовало доказательства, что множество $D$ равно множеству $F$" (это высказывание ложно, потому что оказалось, что доказательство существует, а существование не зависит от "когда"), то никакого абсурда после подстановки не будет.

Речь идет о факте, хорошо известном в истории математики. Чем и воспользовался Френкель, приводя этот пример. Грубо говоря, это начальные условия.

cognize в сообщении #381269 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #381268 писал(а):

К теории множеств Ваше высказывание отношения не имеет.

Мы пока говорим про то, может ли приведенная Вами фраза считаться высказыванием.

Очевидно, что может.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #381270 писал(а):

Очевидно, что может.

Почему? Мне не очевидно. Понимаете, я под Вашим "никто не знал" могу понимать то, что мне будет удобным ("никто не знал" = "не существовало как доказательства равенства этих множеств равно как и доказательства их неравенства") и абсурда в итоге никакого не будет.

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #381271 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #381270 писал(а):

Очевидно, что может.

Почему? Мне не очевидно. Понимаете, я под вашим "никто не знал" могу понимать то, что мне будет удобным и абсурда в итоге никакого не будет.

Для того, чтобы вести этот разговор нужно понимать фразу "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$" именно так, как я сказал.

(Оффтоп)

Вам, что не спится? Ведь все ясно.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #381272 писал(а):

Для того, чтобы вести этот разговор нужно понимать фразу "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$" именно так, как я сказал.

Так Вы же не сказали как понимать, Вы же не дали точного определения. Мне приходится догадываться, откуда я знаю, что Вы там себе понимаете?

Виктор Викторов в сообщении #381272 писал(а):

Ведь все ясно.

Что ясно?

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #381273 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #381272 писал(а):

Для того, чтобы вести этот разговор нужно понимать фразу "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$" именно так, как я сказал.

Так Вы же не сказали как понимать, Вы же не дали точного определения. Мне приходится догадываться, откуда я знаю, что Вы там себе понимаете?

Именно так, как она написана. Без всяких закорюк. И если у Вас есть сомнения так ли было на самом деле или кто-то прятал где-то что-то, то давайте считать для нашего разговора, что "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". Тогда может получиться содержательная беседа.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #381275 писал(а):

Именно так, как она написана. Без всяких закорюк. И если у Вас есть сомнения так ли было на самом деле или кто-то прятал где-то что-то, то давайте считать для нашего разговора, что "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". Тогда может получиться содержательная беседа.

Ладно, давайте. Но в чем тогда абсурдность или ее тоже надо принять как начальное условие?

-- Вс ноя 28, 2010 06:21:35 --

Т.е. мы сейчас допустили, что приведенная Вами фраза является высказыванием и, причем, верным, а если мы подставим в нее вместо $D$ символ $F$, то она станет ложной. Но Вы говорите, что она получается, потому что множества равны, по смыслу (с которым делиться не хотите), после этой подстановки, верной.

[cognize]

Все, я понял, что сильно затупил, полез в ту область, в которой слабо разбираюсь (лучше бы я пошел спать). Действительно, можно же даже провести эксперимент, взять добровольца, сегодня дать ему листик с доказательством того, что $F=F$, а завтра дать ему второй листик с доказательством того, что $F=D$. Завтра можно будет сказать, что "вчера доброволец не имел листика с доказательством того, что $F=D$". Это высказывание истинно. Если мы поменяем в нем $D$ на $F$, то получим абсурд.
В чем же дело? Множества равны, есть доказательство. Все дело в замене.
Значит здесь она недопустима. $D$ и $F$ равны в теории множеств, но высказывания должны получаться разные до и после подстановки, иначе - абсурд. Значит, множества эти должны быть в каком-то смысле не равны, чтобы подстановка была неправомерной.