Какие три функции координат образуют векторное поле?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума и прежде всего Заслуженные Участники – физики, механики, математики!

Мое обращение к Вам вызвано необходимостью установления научной истины, имеющей большое значение для различных областей знаний. Суть вопроса станет понятной для Вас после сравнения этих цитат:

shwedka в сообщении #375846 писал(а):

Из любых неизвестных можно составить вектор, если хочется.

Александр Козачок в сообщении #376876 писал(а):

Поскольку Лойцянский не математик, то с Вашим заключением по его адресу можно было бы согласиться, если бы фраза "не всякие три функции координат образуют векторное поле" принадлежала ему. Однако, как оказалось, эта фраза содержится в §7. Некоторые сведения из тензорного исчисления (Введение), который был добавлен только в более поздние издания учебного пособия (у меня 1970 г.). В ту пору не было принято давать ссылки в учебной литературе. Поэтому остается загадкой адрес первоисточника. Возможно, участники Форума или читатели подскажут.

Важность выяснения этого вопроса усложняется еще и тем, что в классическом учебнике «Механика сплошных сред» (автор Седов Л.И., 1970 г., стр. 120) есть такая фраза «…любые три величины можно трактовать как компоненты вектора…». Такие взаимоисключающие позиции известных профессионалов не могут оставаться без внимания. К тому же утверждение, что «не всякие три функции координат образуют векторное поле», вероятно, имеется в каком-то источнике, изданном до 1970 г. Сейчас, например, это очень важно в связи с возобновившейся дискуссией в Интернете по MILLENNIUM PRIZE PROBLEM ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ – СТОКСА http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2% ... smoothness

С уважением, Александр Козачок

[Someone]

Уточните вопрос.
Если речь идёт о произвольном векторном поле $\vec F=P(x,y,z)\vec\imath+Q(x,y,z)\vec\jmath+R(x,y,z)\vec k$, то, разумеется, функции $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$ могут быть произвольными, и никакой Лойцянский нам не указ.
Если же речь идёт о том, чтобы составить вектор из трёх скалярных физических величин, то, разумеется, это сделать нельзя. Потому что у такого "вектора" координаты не будут изменяться при изменении системы координат.
Но, насколько я помню Вашу дискуссию, речь идёт именно о первом случае.

Кстати, зачем нужно это дублирование вопроса в разных разделах?

[Александр Козачок]

Someone в сообщении #377710 писал(а):

Уточните вопрос.

Этот вопрос, скорее всего, не ко мне. Что именно имели в виду Лойцянский и Седов, можно толковать, тщательно изучив текст на упомянутых страницах их учебников.

Цитата:

Если речь идёт о произвольном векторном поле , то, разумеется, функции , , могут быть произвольными, и никакой Лойцянский нам не указ.

Поскольку в пособии речь идет о гидродинамике, то, вероятно, в первую очередь имеется в виду векторное поле скоростей и поля, которые оно порождает. А что касается Вашей оценки позиции Лойцянского, то я вынужден еще раз обратить Ваше внимание на эту цитату

Александр Козачок в сообщении #376876 писал(а):

… как оказалось, эта фраза {"не всякие три функции координат образуют векторное поле"} содержится в §7. Некоторые сведения из тензорного исчисления (Введение), который был добавлен только в более поздние издания учебного пособия… Поэтому остается загадкой адрес первоисточника. Возможно, участники Форума или читатели подскажут.

Так что, скорее всего, эта мысль принадлежит не Лойцянскому. В математической литературе, изданной до 1970г., вероятно, должна быть информация по этому поводу. Кстати, там же (стр. 45) есть и такая фраза: «не всякая функция трех координат может образовать поле скалярной физической величины»

Someone в сообщении #377710 писал(а):

зачем нужно это дублирование вопроса в разных разделах?

Основная причина - публичный отказ единственного оппонента продолжать дискуссию. Но есть и другие причины не менее, а в некотором смысле более весомые.

С уважением, Александр Козачок

[Someone]

Александр Козачок в сообщении #377805 писал(а):

Поскольку в пособии речь идет о гидродинамике, то, вероятно, в первую очередь имеется в виду векторное поле скоростей и поля, которые оно порождает.

Извините, но между "произвольным векторным полем" и "векторным полем скоростей жидкости" есть некоторая разница: если на первое нет никаких ограничений, то второе должно удовлетворять уравнениям гидродинамики. Поэтому второе поле не произвольное, и, разумеется, не любые три функции составляют векторное поле скоростей жидкости.

Ваши возражения с абстрактной ссылкой на Лойцянского смысла не имеют, и вопрос должен быть решён конкретно: берёте то поле, против которого Вы возражаете, и подставляете его в уравнения гидродинамики. Если уравнения удовлетворяются, то Ваши возражения несостоятельны. Если не удовлетворяются, то Вы правы.

Александр Козачок в сообщении #377805 писал(а):

Основная причина - публичный отказ единственного оппонента продолжать дискуссию.

Я тоже не вижу смысла продолжать дискуссию на таком абстрактном уровне, на котором Вы желаете его обсуждать.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Someone в сообщении #377858 писал(а):

Ваши возражения с абстрактной ссылкой на Лойцянского смысла не имеют,

Вы не правильно толкуете содержание моего обращения, поскольку:
1. в нем пока отсутствуют какие-либо возражения, но содержится просьба обратить внимание на полярные утверждения в учебной литературе различных авторов (Лойцянского и Седова);
2. в нем содержится просьба к участникам Форума указать возможный первоисточник утверждения в книге Лойцянского.

Цитата:

и вопрос должен быть решён конкретно: берёте то поле, против которого Вы возражаете, и подставляете его в уравнения гидродинамики. Если уравнения удовлетворяются, то Ваши возражения несостоятельны. Если не удовлетворяются, то Вы правы..

1. Я еще раз подчеркиваю, что в моем обращении отсутствуют какие-либо возражения.
2. Из цитаты и первого сообщения мне видится такова Ваша позиция: 1. Любые три функции пространственных координат и времени образуют векторное поле и могут представлять собой какое-то векторное поле скорости.2.Любые подобранные четыре функции пространственных координат и времени, превращающие уравнения Навье-Стокса и неразрывности (несжимаемая жидкость) в тождества, можно считать полноправными решениями этих уравнений. Я Вас правильно понял?

Цитата:

… не вижу смысла продолжать дискуссию на таком абстрактном уровне, на котором Вы желаете его обсуждать.

Я снова вынужден подчеркнуть, что в дискуссию с Вами пока не вступал, поскольку в моих сообщениях отсутствуют какие-либо возражения или оценки упомянутых позиций, но содержится только просьба «обратить внимание…» и при возможности «дать ссылку на первоисточник…».

С уважением, Александр Козачок

[Vallav]

Александр Козачок в сообщении #378382 писал(а):

2. в нем содержится просьба к участникам Форума [color=#800000]указать возможный первоисточник утверждения в книге Лойцянского.

То есть, Вас только это интересует?
Тогда так бы и формулировали свой вопрос.

Если У Вас есть возражения против того, что любые три функции координат
образуют векторное поле - приведите опровергающий пример.
Можно - хотя бы для одной точки - какие три числа не могут быть координатами вектора в данной точке.
Или Вы расчитываете найти это опровержение у предшественников
Лойцянского?
Если же Вы считаете, что у Лойцянского ошибка, то зачем Вам знать,
кто еще эту ошибку совершил?

[Someone]

Александр Козачок в сообщении #378382 писал(а):

Из цитаты и первого сообщения мне видится такова Ваша позиция: 1. Любые три функции пространственных координат и времени образуют векторное поле и могут представлять собой какое-то векторное поле скорости.

Я не говорил о "скорости". Я говорил просто о векторном поле, безотносительно к его физической интерпретации.

Александр Козачок в сообщении #378382 писал(а):

2.Любые подобранные четыре функции пространственных координат и времени, превращающие уравнения Навье-Стокса и неразрывности (несжимаемая жидкость) в тождества, можно считать полноправными решениями этих уравнений. Я Вас правильно понял?

Это не моя позиция, это определение решения системы дифференциальных уравнений.

[PAV]

Александр Козачок в сообщении #377805 писал(а):

Этот вопрос, скорее всего, не ко мне. Что именно имели в виду Лойцянский и Седов, можно толковать, тщательно изучив текст на упомянутых страницах их учебников.

Ошибаетесь, это вопрос именно к Вам как к автору темы. Напоминаю правила

Цитата:

3.2. Публикуя свои взгляды на форуме, автор принимает на себя обязательства вежливо, четко и по существу отвечать на вопросы, заданные участниками обсуждения вежливо, четко и по существу. Безусловно обязательны ответы на вопросы, заданные несколькими участниками, представителями администрации или участниками форума, имеющими статус "Заслуженный". В случае невыполнения этих обязательств, игнорирования вопросов, а также если ответы и аргументы автора признаются участниками форума неубедительными или бессодержательными, тема может быть закрыта.

Вообще я удивляюсь тому, с каким упорством Вы раз за разом в каждой своей теме идете по одному и тому же пути, очевидно раздражающему и участников, и модераторов. Заметьте, что всякий раз первым (а часто и последним) требованием к Вам является дать строгие определения используемым Вами понятиям. И я не припомню, чтобы Вы когда-либо это в итоге сделали.

Александр Козачок в сообщении #378382 писал(а):

в нем пока отсутствуют какие-либо возражения, но содержится просьба обратить внимание на полярные утверждения в учебной литературе различных авторов (Лойцянского и Седова);

Я хочу обратить внимание на то, что Вы не привели "утверждений" в строгом смысле этого слова. Процитированные Вами фразы можно назвать утверждениями только опять-таки при условии наличия четкого определения понятий, которые в нем используются. И Вам вполне четко уже объяснили, что с уверенностью можно утверждать, что формальное различие текстов вызвано именно этим различием определений. Вы хотите разобраться - тогда разберитесь в них, не хотите - зачем тогда нужно было это затевать?

Если Вас заинтересует, почему это никто, кроме Вас, не обращает внимание на подобные "очевидные несостыковки", то я сразу отвечу: любой грамотный читатель книги, столкнувшись с этим обстоятельством, не бросается трубить об этом на всех углах, а делает ровно то, к чему Вас все тут призывают: смотрит определения, которые используют авторы, после чего вопрос немедленно решается. И привлекать к этому "внимание общественности" становится совершенно ни к чему.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Vallav в сообщении #378394 писал(а):

Если У Вас есть возражения против того, что любые три функции координат образуют векторное поле - приведите опровергающий пример…. Или Вы расчитываете найти это опровержение у предшественников Лойцянского?

Дело в том, что для Лойцянского это был известный и очевидный факт, поскольку первое предложение упомянутого ранее §7. Некоторые сведения из тензорного исчисления (Введение) выглядит так: « Как известно, не всякая функция трех координат может образовать поле скалярной физической величины». Дальше приведены достаточно убедительные аргументы по этому поводу и аналогичные соображения по поводу векторного поля. Но поскольку Лойцянский не математик, то это значит, что существует математический первоисточник этой информации.

Цитата:

Если же Вы считаете, что у Лойцянского ошибка…

У меня нет убедительных аргументов против соображений на этот счет в книге Лойцянского. Поэтому мне хотелось узнать, какими аргументами располагают всезнайки нашего Форума, эрудицией которых нельзя не восхищаться.

Someone в сообщении #378412 писал(а):

Александр Козачок в сообщении #378382 писал(а):

Цитата:

2.Любые подобранные четыре функции пространственных координат и времени, превращающие уравнения Навье-Стокса и неразрывности (несжимаемая жидкость) в тождества, можно считать полноправными решениями этих уравнений. Я Вас правильно понял?

Это не моя позиция, это определение решения системы дифференциальных уравнений.

Давайте рассмотрим такую ситуацию. Запишем те же уравнения, предполагая, что входящие в них неизвестные – это не компоненты вектора скорости, а обычные функции. Можно ли будет буквально все подобранные решения такой системы считать решениями и предыдущей, т. е. настоящей системы УНС?

PAV в сообщении #378669 писал(а):

Напоминаю правила...

Спасибо! Ваша откровенность, надеюсь, поможет мне усовершенствовать свои подходы к ведению научных дискуссий. Ведь очень полезно знать, что на самом деле о тебе думают. Однако, хотелось бы еще узнать и о Вашей аргументированной позиции по существу затронутой проблемы. Вы же не только супермодератор, но и математик.

С уважением, Александр Козачок

[Vallav]

Александр Козачок в сообщении #379405 писал(а):

Vallav в сообщении #378394 писал(а):

Если У Вас есть возражения против того, что любые три функции координат образуют векторное поле - приведите опровергающий пример…. Или Вы расчитываете найти это опровержение у предшественников Лойцянского?

Дело в том, что для Лойцянского это был известный и очевидный факт, поскольку первое предложение упомянутого ранее §7. Некоторые сведения из тензорного исчисления (Введение) выглядит так: « Как известно, не всякая функция трех координат может образовать поле скалярной физической величины». Дальше приведены достаточно убедительные аргументы по этому поводу и аналогичные соображения по поводу векторного поля. Но поскольку Лойцянский не математик, то это значит, что существует математический первоисточник этой информации.

Вы разницы между Вашим - функция трех координат может образовывать
скалярное поле и его - функция трех координат может образовывать
скалярное поле физической величины - не замечаете?
На поле физической величины кроме скалярности могут быть и другие ограничения.
Вы так и не привели три числа, которые не могут быть координатами вектора в данной
точке.

[Someone]

Vallav в сообщении #379410 писал(а):

Дело в том, что для Лойцянского это был известный и очевидный факт, поскольку первое предложение упомянутого ранее §7. Некоторые сведения из тензорного исчисления (Введение) выглядит так: « Как известно, не всякая функция трех координат может образовать поле скалярной физической величины».

Я уже писал Вам, что имеется существенная разница между понятиями "векторное поле" и "поле скоростей жидкости". Если на первое нет никаких ограничений, то второе должно удовлетворять уравнениям гидродинамики. К скалярным полям это точно так же относится: просто "скалярное поле" - это одно, а "поле скалярной физической величины" - другое.

В издании 1950 года такой фразы нет. В §§ 6 и 7 обсуждается понятие производной по направлению скалярного или векторного поля. Совершенно справедливо отмечается, что производная по направлению скалярного поля не является скалярным полем, поскольку скалярное поле - это функция координат, в то время как производная по направлению не является функцией координат.

Издания 1970 года, на которое Вы ссылаетесь, я не нашёл. Нашёл несколько электронных версий, которые рекламируются как издания разных лет, но на самом деле все они отсканированы с издания 1950 года. Если хотите что-то обсуждать, давайте более подробную цитату, нежели одна фраза, выдранная из контекста.

Александр Козачок в сообщении #379405 писал(а):

Давайте рассмотрим такую ситуацию. Запишем те же уравнения, предполагая, что входящие в них неизвестные – это не компоненты вектора скорости, а обычные функции. Можно ли будет буквально все подобранные решения такой системы считать решениями и предыдущей, т. е. настоящей системы УНС?

Без разницы. Есть формальное определение решения, оно выполняется независимо от того, что лично Вы думаете по этому поводу.

[PAV]

Александр Козачок в сообщении #379405 писал(а):

Однако, хотелось бы еще узнать и о Вашей аргументированной позиции по существу затронутой проблемы.

Я считаю, что уже высказался по этому поводу: единственная "проблема" в данной теме заключается в том, что Вы оперируете какими-то математическими терминами, не приводя их строгого определения. Думаю, что и не приведете. В таких условиях ничего невозможно обсуждать, ибо нет никаких гарантий, что Вы и Ваши собеседники имеют в виду одно и то же. А если все-таки случится чудо и Вы приведете эти определения, то вся "проблема" исчезнет, как туман, и обсуждать будет уже нечего.

[Александр Козачок]

Someone в сообщении #379504 писал(а):

Если хотите что-то обсуждать, давайте более подробную цитату, нежели одна фраза, выдранная из контекста.

С уважением, Александр Козачок

[Munin]

Мдя, ларчик просто открывался, но в другую сторону...

[Someone]

Муть всё это. Координаты векторного поля действительно должны соответствующим образом преобразовываться при замене координат, и это всем грамотным специалистам должно быть известно, но утверждение Лойцянского, что "не всякие три функции координат $a_i(x_1,x_2,x_3)$ образуют векторное поле", является чушью. Замечу, что в издании 1950 года этой чуши нет, и текст параграфов 6 и 7 вполне разумен. Уж если мы объявили некие три функции компонентами векторного поля (в заданной системе координат), то при замене координат будем преобразовывать их должным образом.

Ситуация, разумеется, меняется, если от абстрактных функций и "полей" перейти к физическим величинам. Если у нас есть смесь трёх газов, то составить векторное поле из их плотностей мы не можем, потому что плотности преобразуются не так, как должны преобразовываться компоненты вектора.