квадраты натуральных чисел особого вида

[Enoid]

Дело в том, что через эти $k, m$ выражаются параметры некоторых комбинаторных объектов, и было бы очень здорово получить решение уравнения в явном виде. Возможно ли это для уравнения этого типа? Ясно, что для некоторых $m$ решений не будет вовсе.

[Батороев]

Enoid в сообщении #373987 писал(а):

Я не специалист в теории чисел, но есть ли какой-нибудь способ решать уравнения: $x^2=-7 (mod (2^n))$?
Если да, то можно подойти к задаче с этой стороны: зафиксировать $m$ и для каждого $m$ решать получившееся сравнение.

Переход от уравнения $x^2=2^n-7$ к сравнению $x^2\equiv -7\pmod {2^n}$ автоматически ведет к бесконечности решений.
Например, при $n=15$ имеем единственное решение уравнения: $ 181^2=2^{15}-7$,
а сравнение имеет бесконечное число решений: $(\pm181\pm k\cdot 2^{15-1})^2\equiv -7 \pmod{2^{15}} $, где $k$ - натуральное число.

[RIP]

Enoid в сообщении #374102 писал(а):

Ясно, что для некоторых $m$ решений не будет вовсе.

Напротив, ясно, что при любом $m$ решений бесконечно много. Более того, при каждом (не слишком большом) фиксированном $m$ все их можно явно выписать по рецепту, который Вам расписал Joker_vD (только там опечатка в утверждении 2: $2^k+1$, разумеется, следует читать как $2^{k+1}$).

[Joker_vD]

RIP в сообщении #374506 писал(а):

Напротив, ясно, что при любом $m$ решений бесконечно много.

Вообще-то при решении сравнений решениями, считаются классы вычетов. Поэтому

Батороев в сообщении #374453 писал(а):

а сравнение имеет бесконечное число решений: $(\pm181\pm k\cdot 2^{15-1})^2\equiv -7 \pmod{2^{15}} $, где $k$ - натуральное число.

неверно. Это четыре решения.