2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: квадраты натуральных чисел особого вида
Сообщение12.11.2010, 18:05 
Дело в том, что через эти $k, m$ выражаются параметры некоторых комбинаторных объектов, и было бы очень здорово получить решение уравнения в явном виде. Возможно ли это для уравнения этого типа? Ясно, что для некоторых $m$ решений не будет вовсе.

 
 
 
 Re: квадраты натуральных чисел особого вида
Сообщение13.11.2010, 08:16 
Enoid в сообщении #373987 писал(а):
Я не специалист в теории чисел, но есть ли какой-нибудь способ решать уравнения: $x^2=-7 (mod (2^n))$?
Если да, то можно подойти к задаче с этой стороны: зафиксировать $m$ и для каждого $m$ решать получившееся сравнение.

Переход от уравнения $x^2=2^n-7$ к сравнению $x^2\equiv -7\pmod {2^n}$ автоматически ведет к бесконечности решений.
Например, при $n=15$ имеем единственное решение уравнения: $ 181^2=2^{15}-7$,
а сравнение имеет бесконечное число решений: $(\pm181\pm k\cdot 2^{15-1})^2\equiv -7 \pmod{2^{15}} $, где $k$ - натуральное число.

 
 
 
 Re: квадраты натуральных чисел особого вида
Сообщение13.11.2010, 13:22 
Аватара пользователя
Enoid в сообщении #374102 писал(а):
Ясно, что для некоторых $m$ решений не будет вовсе.
Напротив, ясно, что при любом $m$ решений бесконечно много. Более того, при каждом (не слишком большом) фиксированном $m$ все их можно явно выписать по рецепту, который Вам расписал Joker_vD (только там опечатка в утверждении 2: $2^k+1$, разумеется, следует читать как $2^{k+1}$).

 
 
 
 Re: квадраты натуральных чисел особого вида
Сообщение13.11.2010, 19:32 
RIP в сообщении #374506 писал(а):
Напротив, ясно, что при любом $m$ решений бесконечно много.

Вообще-то при решении сравнений решениями, считаются классы вычетов. Поэтому

Батороев в сообщении #374453 писал(а):
а сравнение имеет бесконечное число решений: $(\pm181\pm k\cdot 2^{15-1})^2\equiv -7 \pmod{2^{15}} $, где $k$ - натуральное число.

неверно. Это четыре решения.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group