Пробелы в образовании

[ewert]

worm2 в сообщении #372363 писал(а):

ТФКП, безусловно, довольно тесно связана с топологией. Это можно весьма наглядно увидеть на примере топологического доказательства основной теоремы алгебры.

Я, оказывается, его уже приводил в соседней ветке.

По-моему, не стоит называть топологическими элементарные соображения непрерывности. Кроме того, там довольно существенный провал:

Цитата:

Внимание, вопрос: R меняется непрерывно, так в какие же это моменты времени наше целое число оборотов, зависящее от R, разрывно меняется?

Ну и что?... Заранее совершенно неизвестно, как скакнёт приращение аргумента при переходе через кратный корень или даже через несколько одинаковых по модулю. Кроме того, вот это

Цитата:

мы считаем, что P(0) != 0, иначе доказывать нечего

неверно (правда, этот дефект, в отличие от предыдущего, очень легко восполнить).

Думаю, что если выловить в этом "доказательстве" всех блох, то получится никак не короче и при этом зануднее, чем стандартное ТФКП-шное доказательство, основанное на принципе аргумента, в котором никаких топологических штучек нет.

[worm2]

ewert, честно говоря, не понял, с какой стороны Вы критикуете доказательство.
То, что оно нестрогое, было отмечено в самом посте. В данном случае строгость вообще не важна. Даже если бы рассуждения были абсолютно строги, они могли базироваться на очень сложно доказываемых результатах топологии. Давайте, чтобы не путаться в терминах, называть доказательство из поста не доказательством, а соображениями. В соображениях важна наглядность, которая в стандартном доказательстве ОТА и не ночевала. Никто не призывает заменять доказательство соображениями, но знать их, на мой взгляд, весьма полезно.
То, что число оборотов замкнутой кривой вокруг точки можно обозвать её (кривой) топологической характеристикой, для меня не нуждается в обосновании, хотя, вероятно, это вопрос вкуса.
Про провал вообще ничего не понял: в ОТА доказывается существование хотя бы одного корня, а не сразу $n$ (с учётом кратности). Хотя в соображениях ещё и бесплатно видно, что их должно быть как раз столько

[Munin]

worm2 в сообщении #372423 писал(а):

Хотя в соображениях ещё и бесплатно видно, что их должно быть как раз столько

Не меньше чем столько.

[ewert]

worm2 в сообщении #372423 писал(а):

Про провал вообще ничего не понял: в ОТА доказывается существование хотя бы одного корня

А, это другое дело, этого действительно достаточно. Тогда это действительно строгое доказательство, только изложенное очень сумбурно, это и сбило меня с толку.

[maxmatem]

Цитата:

Но топологическая структура римановых поверхностей задаётся тем же инструментарием, что и структура римановых многообразий,

Вот здесь можно по-подробнее.....
Чтобы топологическое многообразие можно было называть риманаво многообразие, на него надо хотя бы риманову метрику ввести.

[Munin]

maxmatem в сообщении #373426 писал(а):

Вот здесь можно по-подробнее.....Чтобы топологическое многообразие можно было называть риманаво многообразие, на него надо хотя бы риманову метрику ввести.

Поподробнее - это мне у вас спрашивать. Я об этом только краем уха, это же мой пробел. Я как раз говорил о структуре, отвлечённой от метрики, и/или извлечённой из неё некоторыми интегралами.

[Padawan]

В римановых поверхностях нет метрики. Это просто одномерные комплексно-аналитические многообразия.

[maxmatem]

Цитата:

В римановых поверхностях нет метрики

А разве кто-то сказал , что есть?

(Оффтоп)

я сказал лишь про метрику в римановых многообразиях.

[Munin]

Padawan в сообщении #373485 писал(а):

В римановых поверхностях нет метрики.

Ну, вообще-то, есть, для любого малого $dz$ существует его модуль $\sqrt{dz^*dz}.$ Только их топологическая структура всё равно не этой метрикой определяется...

[Padawan]

Только этот модуль не инвариантен, а зависит от выбора карты. Так что "родной" метрики нет.

[ewert]

Padawan в сообщении #373533 писал(а):

Только этот модуль не инвариантен, а зависит от выбора карты.

Это как это?...

От выбора карты (не знаю, что это значит -- ладно бы ещё листа) зависит точка, а вовсе не смещение.

[Padawan]

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface На ней только углы между кривыми можно мерить.

[ewert]

Padawan в сообщении #373544 писал(а):

На ней только углы между кривыми можно мерить.

Как можно мерить углы без наличия евклидовой структуры?...

Да и зачем это делать, если та структура (локально) там всё равно есть.

[Padawan]

ewert
Ссылку прочитайте. Ладно, чему равно расстояние между точкой $\infty$ и точкой $0$ на римановой сфере?

[ewert]

Padawan в сообщении #373551 писал(а):

ewert
Ссылку прочитайте. Ладно, чему равно расстояние между точкой $\infty$ и точкой $0$ на римановой сфере?

Ну и что?... Между остальными-то точками оно прекрасно существует.