ewert, честно говоря, не понял, с какой стороны Вы критикуете доказательство.
То, что оно нестрогое, было отмечено в самом посте. В данном случае строгость вообще не важна. Даже если бы рассуждения были абсолютно строги, они могли базироваться на очень сложно доказываемых результатах топологии. Давайте, чтобы не путаться в терминах, называть доказательство из поста не доказательством, а соображениями. В соображениях важна наглядность, которая в стандартном доказательстве ОТА и не ночевала. Никто не призывает заменять доказательство соображениями, но знать их, на мой взгляд, весьма полезно.
То, что число оборотов замкнутой кривой вокруг точки можно обозвать её (кривой) топологической характеристикой, для меня не нуждается в обосновании, хотя, вероятно, это вопрос вкуса.
Про провал вообще ничего не понял: в ОТА доказывается существование хотя бы одного корня, а не сразу
(с учётом кратности). Хотя в соображениях ещё и бесплатно видно, что их должно быть как раз столько