Не знаю, именно это ли вы имели в виду...
Думаю, все чуть сложнее. Давайте я попробую объяснить.
Для частицы в СТО закон сохранения импульса просто

где

- 4-вектор импульса, а

- параметр мировой линии (например, собственное время). Однако, если Вы рассмотрите произвольные системы координат - уравнение будет выглядеть иначе (

- масса частицы, в данном уравнении я выбрал параметром собственное время):

"Закон сохранения импульса" здесь выражает то, что:
I) частица движется по геодезической (со скоростью

и импульсом

)
II) 4-вектор параллельно переносится вдоль кривой, по которой движется частица.
Как связаны

в разных системах координат - по обычному закону преобразования компонент 4-вектора. Вам нужно только задать как новые координаты выражаются через старые или наоборот.
Видим, что в выяснении смысла импульса в произвольных координатах важна геометрическая структура теории, которая фактически задается действием. В данном случае:

В ИСО у Вас

. Также заметим, что здесь импульс - это канонический импульс, который можно получить из выписаного действия. Действительно, наш лагранжиан

(точки, производные по

) и при построении стандартно канонического импульса, получаем:

При выборе параметризации собственным временем (

) получаем выписанное выше выражение для импульса

. Ну, с точностью до знака.
В принципе, аналогично нужно поступать и в ньютоновой теории. У Вас есть действие для свободной частицы в произвольной ИСО (точками обозначена производная по времени,

- координаты частицы,

, по повторяющимся индексам суммирование):

Во-первых, заметим что мы и в нем можем рассматривать время как дополнительную координату, введя новый вспомогательный параметр

. Тогда, скажем

(штрихами обозначим производные по

) и

Новый лагранжиан зависит также от "скоростей"

, так что время входит симметрично, как одна из координат.
Далее Вам нужно рассмотреть достаточно произвольные преобразования времени и координат

,

. Посчитать канонические импульсы (тот, что

- равен в ИСО, с точностью до знака - кинетической энергии) и выяснить как они преобразуются при смене координат.
Все упирается в то, что Вам нужно сперва честно посчитать как связаны координаты и время в рассматриваемых разных СО. Задать такую связь. Ясно, никакой новой физики Вы при этом не получите, пока не измените выражение для лагранжиана свободной частицы в ИСО. Именно так и происходит, когда Вы переходите от ньютоновой механики к СТО. Обратите внимание, действия (3) и (5) - разные. Записаны же они в одном и том же классе систем отсчета (ИСО).
В качестве дополнительного материала, можно посмотреть также в книжку "Гравитация" Мизнера, Торна и Уилера (глава "теория тяготения Ньютона на языке искривленного пространства-времени").
И прошу прощеня за то, что не всегда достаточно быстро отвечаю. Не всегда хватает времени.
Не переживайте - все это понимают (надеюсь, что в отношении других Вы тоже будете снисходительны в этом смысле). И не спешите из-за этого - ибо "поспешишь ..."