Не знаю, именно это ли вы имели в виду...
Думаю, все чуть сложнее. Давайте я попробую объяснить.
Для частицы в СТО закон сохранения импульса просто
где
- 4-вектор импульса, а
- параметр мировой линии (например, собственное время). Однако, если Вы рассмотрите произвольные системы координат - уравнение будет выглядеть иначе (
- масса частицы, в данном уравнении я выбрал параметром собственное время):
"Закон сохранения импульса" здесь выражает то, что:
I) частица движется по геодезической (со скоростью
и импульсом
)
II) 4-вектор параллельно переносится вдоль кривой, по которой движется частица.
Как связаны
в разных системах координат - по обычному закону преобразования компонент 4-вектора. Вам нужно только задать как новые координаты выражаются через старые или наоборот.
Видим, что в выяснении смысла импульса в произвольных координатах важна геометрическая структура теории, которая фактически задается действием. В данном случае:
В ИСО у Вас
. Также заметим, что здесь импульс - это канонический импульс, который можно получить из выписаного действия. Действительно, наш лагранжиан
(точки, производные по
) и при построении стандартно канонического импульса, получаем:
При выборе параметризации собственным временем (
) получаем выписанное выше выражение для импульса
. Ну, с точностью до знака.
В принципе, аналогично нужно поступать и в ньютоновой теории. У Вас есть действие для свободной частицы в произвольной ИСО (точками обозначена производная по времени,
- координаты частицы,
, по повторяющимся индексам суммирование):
Во-первых, заметим что мы и в нем можем рассматривать время как дополнительную координату, введя новый вспомогательный параметр
. Тогда, скажем
(штрихами обозначим производные по
) и
Новый лагранжиан зависит также от "скоростей"
, так что время входит симметрично, как одна из координат.
Далее Вам нужно рассмотреть достаточно произвольные преобразования времени и координат
,
. Посчитать канонические импульсы (тот, что
- равен в ИСО, с точностью до знака - кинетической энергии) и выяснить как они преобразуются при смене координат.
Все упирается в то, что Вам нужно сперва честно посчитать как связаны координаты и время в рассматриваемых разных СО. Задать такую связь. Ясно, никакой новой физики Вы при этом не получите, пока не измените выражение для лагранжиана свободной частицы в ИСО. Именно так и происходит, когда Вы переходите от ньютоновой механики к СТО. Обратите внимание, действия (3) и (5) - разные. Записаны же они в одном и том же классе систем отсчета (ИСО).
В качестве дополнительного материала, можно посмотреть также в книжку "Гравитация" Мизнера, Торна и Уилера (глава "теория тяготения Ньютона на языке искривленного пространства-времени").
И прошу прощеня за то, что не всегда достаточно быстро отвечаю. Не всегда хватает времени.
Не переживайте - все это понимают (надеюсь, что в отношении других Вы тоже будете снисходительны в этом смысле). И не спешите из-за этого - ибо "поспешишь ..."