никто не заметил, что пустое множество не является связным
Э-э-э... А какое множество Вы называете связным?
Я привык к таким определениям.
Топологическое пространство

называется
несвязным, если существуют такие открытые множества

, что выполняются условия
1)

;
2)

;
3)

и

.
Соответственно, пространство
связно, если оно не является несвязным.
Множество

называется
несвязным, если оно несвязно в топологии подпространства.
Соответственно, множество
связно, если оно не является несвязным.
Множества

называются
отделёнными, если
![$[A]_X\cap B=\varnothing$ $[A]_X\cap B=\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/b/c9b5c94621298d1527d6e3f01104946e82.png)
и
![$A\cap[B]_X=\varnothing$ $A\cap[B]_X=\varnothing$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/5/ef5a23e5c17aadb059c2861761a2682382.png)
.
Множество

несвязно тогда и только тогда, когда существуют такие множества

, что выполняются условия
1)

и

являются отделёнными;
2)

(или

);
3)

и

.
Если пространство

наследственно нормально, то множество

несвязно тогда и только тогда, когда существуют такие открытые множества

, что выполняются условия
1)

;
2)

;
3)

и

.
Как ни крути, а по этим определениям пустое множество связно.