Определение открытого интервала.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

paha в сообщении #372009 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371996 писал(а):

Топологию можно изучать в школе

в школе надо влюбляться и на дискотеки хотить

Изучение топологии не мешает влюбляться и на дискотеки хотить.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #371476 писал(а):

Мне нужно определение открытого интервала с единой точки зрения (связное множество и все точки внутренние).

Интересно, что никто не заметил, что пустое множество не является связным (хотя всю идею этот факт не ломает).

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):

Существует пять типов открытых интервалов:
1. $(d, g)$
2. $(-\infty, d)$
3. $(g, +\infty)$
4. $(-\infty, +\infty)$
5. Пустое множество.

Предлагаю для всех пяти типов открытых интервалов единое определение.

Определение. Множество $I$ вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда множество $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ, и, для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) принадлежащих $I$, множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

Может быть, стоит поделить это определение на два:

Определение 1. Множество $I$ вещественных чисел называется интервалом, тогда и только тогда, когда для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) принадлежащих $I$, множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

В это определение входят все интервалы (ограниченные и неограниченные, открытые, замкнутые, полуоткрытые).

Определение 2. Интервал $I$ множества вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ.

(Оффтоп)

maxmatem в сообщении #371960 писал(а):

Виктор Викторов
Извините за вопрос, а собственно зачем вам такое определение интервала? Я вчера, книжки по топологии(общей), полистал, и почти никто так сильно не "заморачивался" по этому поводу. Просто говорили , что так и так это интервал, ну и спокойно с ним работают.А под книгами я имею в виду Энгелькинг, Куратовский, Келли . Может у вас цель какая-то ?

paha в сообщении #371965 писал(а):

maxmatem в сообщении #371960 писал(а):

Извините за вопрос, а собственно зачем вам такое определение интервала?

я тут намереваюсь скоро и нескромно для обсуждения представить курс, который в этом семестре читаю по общей топологии... для методического разбора... а то зря я что ли конспект пишу

вот, в этом курсе прямая появляется только в примерах и никаких теорем про прямую я не доказываю и определений не даю

С удивлением обнаружил этот комментарий. Вопрос был задан мне, а ответил на вопрос paha. В задачке спрашивается: это paha о себе или обо мне? Что касается меня, то к бабке ходить не надо: меня давно интересует создать курс общей топологии для начинающих причем в нескольких вариантах для школьников и первокурсников.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):

никто не заметил, что пустое множество не является связным

Э-э-э... А какое множество Вы называете связным?

Я привык к таким определениям.

Топологическое пространство $X$ называется несвязным, если существуют такие открытые множества $U,V\subseteq X$, что выполняются условия
1) $U\cap V=\varnothing$;
2) $X=U\cup V$;
3) $U\neq\varnothing$ и $V\neq\varnothing$.
Соответственно, пространство $X$ связно, если оно не является несвязным.

Множество $C\subseteq X$ называется несвязным, если оно несвязно в топологии подпространства.
Соответственно, множество $C$ связно, если оно не является несвязным.

Множества $A,B\subseteq X$ называются отделёнными, если $[A]_X\cap B=\varnothing$ и $A\cap[B]_X=\varnothing$.

Множество $C\subseteq X$ несвязно тогда и только тогда, когда существуют такие множества $A,B\subseteq X$, что выполняются условия
1) $A$ и $B$ являются отделёнными;
2) $C=A\cup B$ (или $C\subseteq A\cup B$);
3) $A\cap C\neq\varnothing$ и $B\cap C\neq\varnothing$.

Если пространство $X$ наследственно нормально, то множество $C\subseteq X$ несвязно тогда и только тогда, когда существуют такие открытые множества $U,V\subseteq X$, что выполняются условия
1) $U\cap V=\varnothing$;
2) $C\subseteq U\cup V$;
3) $C\cap U\neq\varnothing$ и $C\cap V\neq\varnothing$.

Как ни крути, а по этим определениям пустое множество связно.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #372602 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):

никто не заметил, что пустое множество не является связным

Э-э-э... А какое множество Вы называете связным?

Вы правы. Конечно, пустое множество связно.

(Оффтоп)

В понедельник с утра в голове "сумбур вместо музыки".

[paha]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):

Вопрос был задан мне,

ну, простите великодушно за "захват темы"

[Виктор Викторов]

Всем - спасибо за помощь.

Виктор Викторов в сообщении #372633 писал(а):

Someone в сообщении #372602 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):

никто не заметил, что пустое множество не является связным

Э-э-э... А какое множество Вы называете связным?

Вы правы. Конечно, пустое множество связно.

За этот ляп мне стыдно, но по Фрейду произошёл он от определения граничных множеств. "Принято также выделять множества, называемые граничными, т. е. такие множества, дополнения которых всюду плотны." Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 45.
Да, принято, но надо исключить пустое множество. Пустое множество открыто и не может быть граничным!

[maxmatem]

Виктор Викторов

(Оффтоп)

Вот заметил, что вы часто приводите цитаты из книги
" Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Она вам действительно нравиться?Просто когда я начал изучать общую топологию , я пытался её почитывать параллельно с Александров.П.С "Введение в теорию множеств и общую топологию ", но как-то Александров мне показался более понятным.

[Виктор Викторов]

maxmatem в сообщении #373273 писал(а):

Вот заметил, что вы часто приводите цитаты из книги
" Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Она вам действительно нравиться? Просто когда я начал изучать общую топологию , я пытался её почитывать параллельно с Александров П.С. "Введение в теорию множеств и общую топологию ", но как-то Александров мне показался более понятным.

С моей точки зрения, оба хуже, но обе книги бывают весьма полезны. Люблю Бурбаки!