2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение07.11.2010, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351

(Оффтоп)

paha в сообщении #372009 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #371996 писал(а):
Топологию можно изучать в школе

в школе надо влюбляться и на дискотеки хотить

Изучение топологии не мешает влюбляться и на дискотеки хотить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение08.11.2010, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Виктор Викторов в сообщении #371476 писал(а):
Мне нужно определение открытого интервала с единой точки зрения (связное множество и все точки внутренние).

Интересно, что никто не заметил, что пустое множество не является связным (хотя всю идею этот факт не ломает).

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):
Существует пять типов открытых интервалов:
1. $(d,  g)$
2. $(-\infty, d)$
3. $(g, +\infty)$
4. $(-\infty, +\infty)$
5. Пустое множество.

Предлагаю для всех пяти типов открытых интервалов единое определение.

Определение. Множество $I$ вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда множество $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ, и, для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) принадлежащих $I$, множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

Может быть, стоит поделить это определение на два:

Определение 1. Множество $I$ вещественных чисел называется интервалом, тогда и только тогда, когда для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) принадлежащих $I$, множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

В это определение входят все интервалы (ограниченные и неограниченные, открытые, замкнутые, полуоткрытые).

Определение 2. Интервал $I$ множества вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ.

(Оффтоп)

maxmatem в сообщении #371960 писал(а):
Виктор Викторов
Извините за вопрос, а собственно зачем вам такое определение интервала? Я вчера, книжки по топологии(общей), полистал, и почти никто так сильно не "заморачивался" по этому поводу. Просто говорили , что так и так это интервал, ну и спокойно с ним работают.А под книгами я имею в виду Энгелькинг, Куратовский, Келли . Может у вас цель какая-то ?

paha в сообщении #371965 писал(а):
maxmatem в сообщении #371960 писал(а):
Извините за вопрос, а собственно зачем вам такое определение интервала?

я тут намереваюсь скоро и нескромно для обсуждения представить курс, который в этом семестре читаю по общей топологии... для методического разбора... а то зря я что ли конспект пишу

вот, в этом курсе прямая появляется только в примерах и никаких теорем про прямую я не доказываю и определений не даю

С удивлением обнаружил этот комментарий. Вопрос был задан мне, а ответил на вопрос paha. В задачке спрашивается: это paha о себе или обо мне? Что касается меня, то к бабке ходить не надо: меня давно интересует создать курс общей топологии для начинающих причем в нескольких вариантах для школьников и первокурсников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение09.11.2010, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):
никто не заметил, что пустое множество не является связным

Э-э-э... А какое множество Вы называете связным?

Я привык к таким определениям.

Топологическое пространство $X$ называется несвязным, если существуют такие открытые множества $U,V\subseteq X$, что выполняются условия
1) $U\cap V=\varnothing$;
2) $X=U\cup V$;
3) $U\neq\varnothing$ и $V\neq\varnothing$.
Соответственно, пространство $X$ связно, если оно не является несвязным.

Множество $C\subseteq X$ называется несвязным, если оно несвязно в топологии подпространства.
Соответственно, множество $C$ связно, если оно не является несвязным.

Множества $A,B\subseteq X$ называются отделёнными, если $[A]_X\cap B=\varnothing$ и $A\cap[B]_X=\varnothing$.

Множество $C\subseteq X$ несвязно тогда и только тогда, когда существуют такие множества $A,B\subseteq X$, что выполняются условия
1) $A$ и $B$ являются отделёнными;
2) $C=A\cup B$ (или $C\subseteq A\cup B$);
3) $A\cap C\neq\varnothing$ и $B\cap C\neq\varnothing$.

Если пространство $X$ наследственно нормально, то множество $C\subseteq X$ несвязно тогда и только тогда, когда существуют такие открытые множества $U,V\subseteq X$, что выполняются условия
1) $U\cap V=\varnothing$;
2) $C\subseteq U\cup V$;
3) $C\cap U\neq\varnothing$ и $C\cap V\neq\varnothing$.

Как ни крути, а по этим определениям пустое множество связно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение09.11.2010, 02:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Someone в сообщении #372602 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):
никто не заметил, что пустое множество не является связным

Э-э-э... А какое множество Вы называете связным?

Вы правы. Конечно, пустое множество связно. :oops:

(Оффтоп)

В понедельник с утра в голове "сумбур вместо музыки".

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение09.11.2010, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):
Вопрос был задан мне,

ну, простите великодушно за "захват темы"

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение10.11.2010, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Всем - спасибо за помощь.

Виктор Викторов в сообщении #372633 писал(а):
Someone в сообщении #372602 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #372428 писал(а):
никто не заметил, что пустое множество не является связным

Э-э-э... А какое множество Вы называете связным?

Вы правы. Конечно, пустое множество связно. :oops:

За этот ляп мне стыдно, но по Фрейду произошёл он от определения граничных множеств. "Принято также выделять множества, называемые граничными, т. е. такие множества, дополнения которых всюду плотны." Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 45.
Да, принято, но надо исключить пустое множество. Пустое множество открыто и не может быть граничным!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение10.11.2010, 22:30 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Виктор Викторов

(Оффтоп)

Вот заметил, что вы часто приводите цитаты из книги
" Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Она вам действительно нравиться?Просто когда я начал изучать общую топологию , я пытался её почитывать параллельно с Александров.П.С "Введение в теорию множеств и общую топологию ", но как-то Александров мне показался более понятным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение открытого интервала.
Сообщение10.11.2010, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
maxmatem в сообщении #373273 писал(а):
Вот заметил, что вы часто приводите цитаты из книги
" Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Она вам действительно нравиться? Просто когда я начал изучать общую топологию , я пытался её почитывать параллельно с Александров П.С. "Введение в теорию множеств и общую топологию ", но как-то Александров мне показался более понятным.

С моей точки зрения, оба хуже, но обе книги бывают весьма полезны. Люблю Бурбаки!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group